Тип 15 № 10020

Решите неравенство: $\frac{\log_8x}{\log_8\frac{x}{64}} \geq \frac{2}{\log_8x} + \frac{3}{\log_8^2x - \log_8x^2}$

Решение:

$(*) x > 0$

Упростим неравенство, используя свойства логарифмов: $\frac{\log_8x}{\log_8x - \log_864} \geq \frac{2}{\log_8x} + \frac{3}{\log_8^2x - 2\log_8x}$ $\frac{\log_8x}{\log_8x - 2} \geq \frac{2}{\log_8x} + \frac{3}{\log_8x (\log_8x - 2)}$

Введем замену $t = \log_8x$ , тогда неравенство примет вид: $\frac{t}{t - 2} \geq \frac{2}{t} + \frac{3}{t(t - 2)}$ $\frac{t^2}{t(t - 2)} - \frac{2(t - 2)}{t(t - 2)} - \frac{3}{t(t - 2)} \geq 0$ $\frac{t^2 - 2t + 4 - 3}{t(t - 2)} \geq 0$ $\frac{t^2 - 2t + 1}{t(t - 2)} \geq 0$ $\frac{(t - 1)^2}{t(t - 2)} \geq 0$

Решим неравенство методом интервалов:

Решение неравенства: $\left[\begin{aligned} &t = 1\\ &t > 2\\ &t < 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\log_8x = 1\\ &\log_8x > 2\\ &\log_8x < 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 8\\ &x > 64\\ &x < 1 \end{aligned}\right.$ С учётом $(*)$ , получаем систему: $\begin{cases} x > 0\\ \left[\begin{aligned} &x = 8\\ &x > 64\\ &x < 1 \end{aligned}\right. \end{cases}$

Получаем ответ: $x \in (0; 1) \cup \{8\} \cup (64; +\infty)$

Ответ: $x \in (0; 1) \cup \{8\} \cup (64; +\infty)$