Неравенства

Найдём координаты векторов по картинке:

$$\vec a = (1 - 2, 3 - 3) = (-1, 0)$$ $$\vec b = (6 - 2, 1 - 3) = (4, -2)$$

Найдём скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b$:

$$\vec a \cdot \vec b = -1\cdot4 -2\cdot 0 = -4$$

1. Условие задачи даёт: $$V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi R^2 h = 6$$ и так как радиус основания конуса равен радиусу шара, то $h = R$.

2. Подставляем $h = R$: $$\frac{1}{3}\pi R^3 = 6 \Rightarrow \pi R^3 = 18$$

3. Объём шара: $$V_{\text{шар}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \times 18 = 24$$

Всего участников конференции: $3 + 3 + 4 = 10$, из них 3 представляют Россию. Так как порядок докладов определяется случайным образом, вероятность того, что именно российский учёный выступит восьмым: $P = \frac{3}{10} = 0{,}3$.

Всего фломастеров в коробке: $$12 + 6 + 7 = 25.$$

Вероятность выбрать один синий и один красный фломастер можно рассмотреть двумя способами:

1. Сначала синий, затем красный: $$P(\text{синий, затем красный}) = \frac{12}{25} \cdot \frac{6}{24} = \frac{72}{600} = \frac{3}{25} = 0,12.$$
2. Сначала красный, затем синий: $$P(\text{красный, затем синий}) = \frac{6}{25} \cdot \frac{12}{24} = \frac{72}{600} = \frac{3}{25} = 0,12.$$

Общая вероятность того, что будут выбраны один синий и один красный фломастер, равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий: $$P = 0,12 + 0,12 = 0,24.$$

Производная в точке касания равна тангенсу угла наклона касательной, т.е её угловому коэффициенту. По условию прямая $y = 7x - 5$ параллельна касательной к графику функции $y = x^2 + 6x - 8$. Значит, их угловые коэффициенты равны между собой:

$$7 = (x^2 + 6x - 8)' = 2x + 6$$ $$2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5$$