Тип 17 № 10022

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту $CC_1$ и медиану $AA_1$ . Оказалось, что точки $A,A_1,C,C_1$ лежат на одной окружности.

а)Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если $AA_1:CC_1=5:4$ и $A_1C_1=4$ .

Решение:

$a)$

Рассмотрим треугольники $AA_1C$ и $CC_1A$ . Угол $CC_1A$ по условию прямой ( $CC_1$ высота), следовательно он опирается на диаметр окружности $AC$ .

Тогда угол $AA_1C$ также является прямым, так как опирается на диаметр окружности $AC$ . Значит, $AA_1$ является медианой и высотой в треугольнике $ABC \Rightarrow AB = AC \Rightarrow$ треугольник $ABC$ является равнобедренным.

б) Рассмотрим треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$ . Они подобны по двум углам: $\angle CBA$ – общий, $\angle AA_1B = \angle CC_1B$ . Составим пропорции: $\frac{AA_1}{CC_1} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{4}$

Рассмотрим треугольник $CC1B$ . Точка $A_1$ – серидина гипотенузы $BC$ . Значит, $C_1A_1$ – медиана, проведённая из вершины прямого угла. Тогда: $A_1C_1 = \frac{1}{2}BC \Rightarrow 2C_1A_1 = BC = 8$ $\frac{AB}{BC} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow AB = \frac{5\cdot BC}{4} = 10$

Найдём площадь треугольника $ABC$ по формуле: $S_{ABC} = \frac{AA_1\cdot BC}{2}$

Найдём $AA_1$ из прямоугольного треугольника $AA_1B$ : $AA_1 = \sqrt{(BA)^2 - (BA_1)^2} = \sqrt{100 - 16} = 2\sqrt{21}$

Подставляем: $S_{ABC} = \frac{2\sqrt{21}\cdot8}{2} = 8\sqrt{21}$

Ответ: $8\sqrt{21}$