Треугольники

$a)$

Рассмотрим треугольники $AA_1C$ и $CC_1A$. Угол $CC_1A$ по условию прямой ($CC_1$ высота), следовательно он опирается на диаметр окружности $AC$.

Тогда угол $AA_1C$ также является прямым, так как опирается на диаметр окружности $AC$. Значит, $AA_1$ является медианой и высотой в треугольнике $ABC \Rightarrow AB = AC \Rightarrow$ треугольник $ABC$ является равнобедренным.

б) Рассмотрим треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$. Они подобны по двум углам: $\angle CBA$ – общий, $\angle AA_1B = \angle CC_1B$. Составим пропорции: $$\frac{AA_1}{CC_1} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{4}$$

Рассмотрим треугольник $CC1B$. Точка $A_1$ – серидина гипотенузы $BC$. Значит, $C_1A_1$ – медиана, проведённая из вершины прямого угла. Тогда: $$A_1C_1 = \frac{1}{2}BC \Rightarrow 2C_1A_1 = BC = 8$$ $$\frac{AB}{BC} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow AB = \frac{5\cdot BC}{4} = 10$$

Найдём площадь треугольника $ABC$ по формуле: $S_{ABC} = \frac{AA_1\cdot BC}{2}$

Найдём $AA_1$ из прямоугольного треугольника $AA_1B$: $$AA_1 = \sqrt{(BA)^2 - (BA_1)^2} = \sqrt{100 - 16} = 2\sqrt{21}$$

Подставляем: $$S_{ABC} = \frac{2\sqrt{21}\cdot8}{2} = 8\sqrt{21}$$

Ответ: $8\sqrt{21}$

a)

Рассмотрим треугольник $AC_1C$. По условию угол $CC_1A$ прямой, значит $AC$ это диаметр окружности. Тогда, так как угол $AA_1C$ опирается на диаметр $AC$ он также является прямым. Тогда из треугольника $ABC$ получаем, что $AA_1$ является медианой и высотой, следовательно треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB = AC$. ч.т.д.

б) Рассмотрим треугольник $BC_1C$. $C_1A_1$ – медиана, проведённая из вершины прямого угла $BC_1C$. Тогда $BA_1 = A_1C = C_1A_1 = 6$. Значит, $AB = 2C_1A_1 = 12$.

Рассмотрим треугольники $BC_1C$ и $BA_1A$. $\angle BAA_1 = \angle BCC_1$, так как они опираются на меньшую одну $C_1A_1$. Угол $B$ общий. Значит эти треугольники подобны по двум углам.

Запишем пропорцию: $$\frac{AA_1}{CC_1} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{3} \Rightarrow AB = \frac{4}{3}BC = 16$$

Так как $AB = AC$, вычислим площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона: $$p = \frac{12 + 16\cdot2}{2} = 22$$ $$S_{ABC} = \sqrt{22\cdot6\cdot6\cdot10}= 12\sqrt{55}$$

Ответ: $12\sqrt{55}$

а)

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $NCM$ равны по двум сторонам и углу между ними ($AC = CN$ и $CM = BC$).
У равных треугольников равны соответствующие элементы, поэтому $\angle BAC = \angle MNC = \angle MCF = 90^\circ - \angle HCA \Rightarrow \angle HCF = \angle HCA + \angle MCF = 90^\circ$

б) По условию $AC = CN$, следовательно $\angle CNA = \angle NAC = 45^\circ$. Аналогично $\angle BMC = \angle CBM = 45^\circ$.

Рассмотрим $\triangle MLA$. Угол $BMC$ и угол $LMA$ равны как вертикальные. Тогда: $$\angle MLA = 180^\circ - \angle LMA - \angle MAL = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$$ Значит $\triangle MLA$ прямоугольный и равнобедренный.

Заметим, что: $$MA = AC - CM = AC - BC = 5 - 2 = 3$$ Пусть $ML = LA = x$ Тогда по теореме Пифагора: $$MA = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt2 = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{\sqrt2} = ML$$

Ответ: $\frac{3}{\sqrt2}$

а)

$CP$ и $CQ$ – биссектрисы смежных углов $\Rightarrow$ они взаимно перпендикулярны.

б) Рассмотрим треугольники $\triangle NCM$ и $\triangle ABC$. Они равны по двум сторонам и углу между ними. Значит $CQ = CP$.

Рассмотрим треугольник $NMC$. По свойству биссектрисы: $$\frac{QM}{NQ} = \frac{CM}{NC} = \frac{3}{5}$$ Если вся сторона $NM$ равна $8x$, то $NQ$ равно $\frac{5}{8}NM$

По теореме Пифагора для треугольника $NMC$: $$MN = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$$

Тогда: $$\cos\angle MNC = \cos QNC = \frac{NC}{NM} = \frac{5}{\sqrt{34}} \text{ и } NQ = \frac{5\sqrt{34}}{8}$$

По теореме косинусов для треугольника $QNC$: $$QC^2 = NQ^2 + NC^2 - 2\cdot NQ\cdot NC\cdot\cos MNC$$ $$QC^2 = \frac{25\cdot34}{64} + 25 - \frac{25\sqrt{34}}{4}\cdot \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{25\cdot17 + 25\cdot32 - 125\cdot8}{32} = \frac{225}{32}$$ $$QC = \frac{15}{4\sqrt2}$$ Из прямоугольного треугольника $QCP$, где $QC = CP$ имеем: $$QP = \sqrt{CQ^2 + CP^2} = \sqrt{2CQ^2} = \sqrt2CQ = \frac{15}{4}$$

Ответ: $\frac{15}{4}$

а)

Прямая $ML || AC$, так как она содержит среднюю линюю треугольника $ABC$, тогда: $$\angle LAC = \angle ALM \text{ как накрест лежащие углы }$$ $$\angle LAC = \angle LAM \text{ по условию }$$ Значит $\triangle AML$ – равнобедренный, так как углы $MAL$ и $MLA$ равны при основании $AL$. Так как точка $M$ – середина стороны $AB$, имеем: $$AM = ML = MB$$ А значит треугольник $ALB$ – прямоугольный, так как $LM$ медиана, равная половине стороны $AB$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ACB$ и $ALB$. Они имеют общую гипотенузу $AB \Rightarrow$ четырёхугольник $ABLC$ – вписанный. Отсюда имеем:

$$\begin{cases} \angle BAL = \angle BCL= \angle LAM\\ \angle LAC = \angle LBC = \angle LAM \end{cases} \Rightarrow \triangle AML \sim \triangle BLC \text{ по двум углам}$$

б) Пусть угол $LAC$ равен $\alpha$, тогда $\angle BAC = 2\alpha$ и $\cos\angle BAC = \cos2\alpha = \frac{7}{25}$

Так как треугольники $AML$ и $BLC$ подобны, имеем:

$$\frac{CL}{ML} = \frac{CB}{AL} =\frac{LB}{AM} = \frac{LB}{\frac{AB}{2}} = \frac{2LB}{AB} = k$$

В прямоугольном треугольнике $LAB$, $\sin LAB = \frac{LB}{AB} = \sin \alpha \Rightarrow 2\sin\alpha = k$

По формуле понижения степени:

$$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos2\alpha}{2} \Leftrightarrow \sin \alpha = \sqrt{\frac{1-\frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{25}}= \frac{3}{5}$$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента их подобия:

$$\frac{S_{BLC}}{S_{AML}} = k^2 = (2\sin\alpha)^2 = 4\cdot\frac{9}{25} = \frac{36}{25}$$

Ответ: $\frac{36}{25}$