Тип 999 № 10134

Формулировка теоремы:

Если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них равные (или пропорциональные) отрезки (начиная от вершины угла), то эти прямые параллельны.

Рассмотрим треугольники $ANM$ и $AED$:
$$AD = 2AM \quad (AM = MD \text{ по условию})$$
Аналогично:
$$AE = 2AN$$
Значит
$$\frac{AD}{AM} = 2 \text{ и } \frac{AE}{AN} = 2$$
Угол $A$ общий у этих треугольников, тогда эти треугольники подобны по второму признаку подобия.

Из подобия получаем, что $\angle AMN = \angle ADE$.

Тогда получается, что для прямых $NM$ и $ED$ и их секущей $AB$ соответственные углы $AMN$ и $ADE$ равны $\Rightarrow$ прямые $NM$ и $ED$ параллельны по второму признаку параллельности прямых.