Доказательства

Формулировка теоремы:

Если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них равные (или пропорциональные) отрезки (начиная от вершины угла), то эти прямые параллельны.

Рассмотрим треугольники $ANM$ и $AED$:
$$AD = 2AM \quad (AM = MD \text{ по условию})$$
Аналогично:
$$AE = 2AN$$
Значит
$$\frac{AD}{AM} = 2 \text{ и } \frac{AE}{AN} = 2$$
Угол $A$ общий у этих треугольников, тогда эти треугольники подобны по второму признаку подобия.

Из подобия получаем, что $\angle AMN = \angle ADE$.

Тогда получается, что для прямых $NM$ и $ED$ и их секущей $AB$ соответственные углы $AMN$ и $ADE$ равны $\Rightarrow$ прямые $NM$ и $ED$ параллельны по второму признаку параллельности прямых.

Формулировка теоремы:

Если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них равные (или пропорциональные) отрезки (начиная от вершины угла), то эти прямые параллельны.

Рассмотрим треугольники $ANM$ и $AED$:
$$AD = 2AM \quad (AM = MD \text{ по условию})$$
Аналогично:
$$AE = 2AN$$
Значит
$$\frac{AD}{AM} = 2 \text{ и } \frac{AE}{AN} = 2$$
Угол $A$ общий у этих треугольников, тогда эти треугольники подобны по второму признаку подобия.

Из подобия получаем, что $\angle AMN = \angle ADE$.

Тогда получается, что для прямых $NM$ и $ED$ и их секущей $AB$ соответственные углы $AMN$ и $ADE$ равны $\Rightarrow$ прямые $NM$ и $ED$ параллельны по второму признаку параллельности прямых.

Пусть отрезки $EN$ и $AN$ пропорциональны с коэффициентом $a$, то есть $\frac{EN}{AN} = a$. Аналогично $\frac{MD}{AM} = a$.

Рассмотрим треугольники $ANM$ и $AED$:
$$AE = EN + AN \text{ и } AD = AM + MD$$
По условию $\frac{EN}{AN} = a$ и $\frac{MD}{AM} = a$. Отсюда $EN = a\cdot AN \text{ и } MD = a\cdot AM$.

Тогда $AE = AN + a\cdot AN = AN(a + 1) \text{ и } AD = AM + a\cdot AM = AM(a + 1)$

Следовательно $\frac{AE}{AN} = a + 1 \text{ и } \frac{AD}{AM} = a + 1$.

Получаем, что в треугольниках $ANM$ и $AED$ с общим углом $A$ две стороны пропорциональны $\Rightarrow$ они подобны.

Из подобия получаем, что $\angle AMN = \angle ADE$.

Тогда получается, что для прямых $NM$ и $ED$ и их секущей $AB$ соответственные углы $AMN$ и $ADE$ равны $\Rightarrow$ прямые $NM$ и $ED$ параллельны по второму признаку параллельности прямых.

Пусть отрезки $EN$ и $AN$ пропорциональны с коэффициентом $a$, то есть $\frac{EN}{AN} = a$. Аналогично $\frac{MD}{AM} = a$.

Рассмотрим треугольники $ANM$ и $AED$:
$$AE = EN + AN \text{ и } AD = AM + MD$$
По условию $\frac{EN}{AN} = a$ и $\frac{MD}{AM} = a$. Отсюда $EN = a\cdot AN \text{ и } MD = a\cdot AM$.

Тогда $AE = AN + a\cdot AN = AN(a + 1) \text{ и } AD = AM + a\cdot AM = AM(a + 1)$

Следовательно $\frac{AE}{AN} = a + 1 \text{ и } \frac{AD}{AM} = a + 1$.

Получаем, что в треугольниках $ANM$ и $AED$ с общим углом $A$ две стороны пропорциональны $\Rightarrow$ они подобны.

Из подобия получаем, что $\angle AMN = \angle ADE$.

Тогда получается, что для прямых $NM$ и $ED$ и их секущей $AB$ соответственные углы $AMN$ и $ADE$ равны $\Rightarrow$ прямые $NM$ и $ED$ параллельны по второму признаку параллельности прямых.

Для доказательства теоремы нам будет достаточно показать, что для любой из 3 медиан справделиво то, что она точкой пересечения с другой медианой делится в соотношении $2:1$ считая от вершины. Для любой другой медианы всё будет также справедливо.

Докажем теорему для медианы $AA_1$. То есть мы должны по условию теоремы прийти к соотношению $\frac{AO}{OA_1} = \frac{2}{1}$.

Для начала проведём через точку $A_1$ прямую, параллельную прямой $BB_1$. Точку пересечения этой прямой со стороной $AC$ обозначим за $L$.

Так как точка $A_1$ – середина стороны $BC$ по условию, то по теореме Фалеса для угла $\angle C$ и параллельных прямых $LA_1$ и $BB_1$ имеем: $$\frac{LC}{LB_1} = \frac{CA_1}{A_1B} = 1$$

Теперь рассмотрим те же параллельные прямые, но уже для угла $CAA_1$. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:

$$\frac{AB_1}{B_1L} = \frac{AO}{OA_1}$$

Пусть $AC = 4x$, тогда $AB_1 = 2x$ (так как $B_1$ – середина стороны $AC$).

Как мы выяснили ранее $LC = B_1L$, значит $LC = x = LB_1$.

Тогда: $$\frac{AB_1}{B_1L} = \frac{2x}{x} = \frac{2}{1}$$

Что и требовалось доказать.