Тип 999 № 10137

Пусть отрезки $EN$ и $AN$ пропорциональны с коэффициентом $a$, то есть $\frac{EN}{AN} = a$. Аналогично $\frac{MD}{AM} = a$.

Рассмотрим треугольники $ANM$ и $AED$:
$$AE = EN + AN \text{ и } AD = AM + MD$$
По условию $\frac{EN}{AN} = a$ и $\frac{MD}{AM} = a$. Отсюда $EN = a\cdot AN \text{ и } MD = a\cdot AM$.

Тогда $AE = AN + a\cdot AN = AN(a + 1) \text{ и } AD = AM + a\cdot AM = AM(a + 1)$

Следовательно $\frac{AE}{AN} = a + 1 \text{ и } \frac{AD}{AM} = a + 1$.

Получаем, что в треугольниках $ANM$ и $AED$ с общим углом $A$ две стороны пропорциональны $\Rightarrow$ они подобны.

Из подобия получаем, что $\angle AMN = \angle ADE$.

Тогда получается, что для прямых $NM$ и $ED$ и их секущей $AB$ соответственные углы $AMN$ и $ADE$ равны $\Rightarrow$ прямые $NM$ и $ED$ параллельны по второму признаку параллельности прямых.