Тип 15 № 10177

Перенесём $x + 1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x}{x - 1} - (x + 1) > 0 \Leftrightarrow \frac{x - (x + 1)(x - 1)}{x - 1} > 0 \Leftrightarrow \frac{x - x^2 + 1}{x - 1} > 0 \Leftrightarrow \frac{-x^2 + x + 1}{x - 1} > 0$$

Умножим обе части неравенства на $-1$ (не забывая изменить знак неравенства):

$$\frac{x^2 - x - 1}{x - 1} < 0$$

Найдём корни числителя и знаменателя:

$$x^2 - x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ $$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$$

Воспользуемся методом интервалов:

Неравенство выполняется на интервалах, где дробь $< 0$:

$$x \in \left(-\infty; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(1; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)$$

Ответ: $x \in \left(-\infty; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(1; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)$