Тип 15 № 10688

Проведём прямую, параллельную прямой $MN$ через точку $C$.

Обозначим точки пересечения этой прямой и прямой $AB$ c прямой $MN$ как $G$ и $L$ соответственно.

По теореме о пропорциональных отрезках для угла $\angle A$ и параллельных прямых $CG$ и $MN$ : $$\frac{LG}{AG} = \frac{CN}{AC} = \frac{1}{2}$$ Откуда $LG = \frac{1}{2} AG$. Пусть $LG = a$, тогда $AL = AG + LG = 3a$.

Тогда по теореме о пропорциональных отрезках для угла $\angle B$ и параллельных прямых $CG$ и $MN$:

$$\frac{BL}{LG} = \frac{BM}{MC} = \frac{1}{3} \Rightarrow BL = \frac{LG}{3} = \frac{a}{3}$$

Тогда искомое отношение: $$\frac{BL}{AL} = \frac{\frac{a}{3}}{3a} = \frac{1}{9}$$

Ответ: $\tfrac{1}{9}$