Тип 999 № 10689

Для доказательства теоремы нам будет достаточно показать, что для любой из 3 медиан справделиво то, что она точкой пересечения с другой медианой делится в соотношении $2:1$ считая от вершины. Для любой другой медианы всё будет также справедливо.

Докажем теорему для медианы $AA_1$. То есть мы должны по условию теоремы прийти к соотношению $\frac{AO}{OA_1} = \frac{2}{1}$.

Для начала проведём через точку $A_1$ прямую, параллельную прямой $BB_1$. Точку пересечения этой прямой со стороной $AC$ обозначим за $L$.

Так как точка $A_1$ – середина стороны $BC$ по условию, то по теореме Фалеса для угла $\angle C$ и параллельных прямых $LA_1$ и $BB_1$ имеем: $$\frac{LC}{LB_1} = \frac{CA_1}{A_1B} = 1$$

Теперь рассмотрим те же параллельные прямые, но уже для угла $CAA_1$. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:

$$\frac{AB_1}{B_1L} = \frac{AO}{OA_1}$$

Пусть $AC = 4x$, тогда $AB_1 = 2x$ (так как $B_1$ – середина стороны $AC$).

Как мы выяснили ранее $LC = B_1L$, значит $LC = x = LB_1$.

Тогда: $$\frac{AB_1}{B_1L} = \frac{2x}{x} = \frac{2}{1}$$

Что и требовалось доказать.