Тип 15 № 10690

Точка $E$ – середина стороны $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ $\Rightarrow AE = EC$

Проведём из точки $E$ прямую, параллельную $AD$.

$M$ – точка пересечения этой прямой с прямой $BC$.

Тогда по теореме Фалеса для угла $C$ и параллельных прямых $AD$ и $EM$: $$\frac{EC}{AE} = \frac{CM}{MD} = 1$$

Пусть $BD = 2a$, тогда $DC = 8a$ и $BC = 10a$. Тогда: $$DM = MC = \frac{DC}{2} = 4a$$

По теореме Фалеса для угла $EBC$ и параллельных прямых $AD$ и $EM$ получаем:

$$\frac{BK}{KE} = \frac{BD}{DM} = \frac{2a}{4a} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$