Тип 15 № 10691

Проведём из точки $E$ прямую, параллельную $FB$. Обозначим точку пересечения этой прямой со стороной $AC$ за $L$.

По теореме Фалеса для угла $\angle B$ и параллельных прямых $FB$ и $LE$: $$\frac{BE}{EC} = \frac{FL}{LC}$$

Пусть $AC = 11a$, тогда $AF = 6a$, а $FC = 5a$.

По теореме Фалеса для угла $\angle CAE$ и параллельных прямых $FB || LE$: $$\frac{AF}{FL} = \frac{AO}{OE} = 3$$ $$FL = \frac{AF}{3} = 2a$$ $$LC = AC - AL = AC - (AF + FL) = 11a - 6a - 2a = 3a$$

Отсюда: $$\frac{BE}{CE} = \frac{FL}{LC} = \frac{2a}{3a} = \frac{2}{3}$$

Ответ: $\frac{2}{3}$