Тип 11 № 10818

Преобразуем функцию: $$f(x) = \frac{kx + a}{x + b} = \frac{kx + kb + a - kb}{x + b} = \frac{k(x + b)}{x + b} + \frac{a - kb}{x + b} = k + \frac{a - kb}{x + b}$$

Определим коэффициенты:

• Горизонтальная асимптота $y = 1$ $\Rightarrow$ $k = 1$
• Вертикальная асимптота $x = -4$ $\Rightarrow$ $b = 4$
• Точка $(1, 2)$ принадлежит графику: $$f(1) = 1 + \frac{a - 1 \cdot 4}{1 + 4} = 2$$

Решим уравнение для $a$: $$1 + \frac{a - 4}{5} = 2$$ $$\frac{a - 4}{5} = 1$$ $$a - 4 = 5$$ $$a = 9$$

Проверка: Подставим найденные значения в исходную функцию: $$f(x) = \frac{x + 9}{x + 4} = 1 + \frac{5}{x + 4}$$

• При $x = 1$: $f(1) = 1 + \frac{5}{5} = 2$ - соответствует условию
• Горизонтальная асимптота $y = 1$ - соответствует
• Вертикальная асимптота $x = -4$ - соответствует

Ответ 9