Тип 18 № 10865

$$(*) x^2 + 6x + 9 - a^2 \mathrel{=}\llap{/\,} 0$$

Преобразуем знаменатель: $$x^2 + 6x + 9 - a^2 = (x + 3)^2 - a^2 = (x + 3 - a)(x + 3 + a) \mathrel{=}\llap{/\,} 0$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x \mathrel{=}\llap{/\,} a - 3 \\ x \mathrel{=}\llap{/\,} -a - 3 \end{cases}$$

Найдем корни числителя: $$4x^2 - a^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{a^2}{4} \Rightarrow x = \pm\frac{a}{2}$$

Проверим условия для каждого корня:

1. Для $x = \frac{a}{2}$: $$\frac{a}{2} \mathrel{=}\llap{/\,} a - 3 \Rightarrow a \mathrel{=}\llap{/\,} 6$$ $$\frac{a}{2} \mathrel{=}\llap{/\,} -a - 3 \Rightarrow 3a \mathrel{=}\llap{/\,} -6 \Rightarrow a \mathrel{=}\llap{/\,} -2$$

2. Для $x = -\frac{a}{2}$: $$-\frac{a}{2} \mathrel{=}\llap{/\,} a - 3 \Rightarrow -3a \mathrel{=}\llap{/\,} -6 \Rightarrow a \mathrel{=}\llap{/\,} 2$$ $$-\frac{a}{2} \mathrel{=}\llap{/\,} -a - 3 \Rightarrow a \mathrel{=}\llap{/\,} -6$$

3. Проверим совпадение корней: $$\frac{a}{2} = -\frac{a}{2} \Rightarrow a = 0$$

Таким образом, уравнение имеет ровно два различных корня при: $$a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -6) \cup (-6; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; +\infty)$