Задача с параметром

Сделаем замену $t = |x - 2a - 1| + |x - 2a + 1|$.

$$t^2 + at + a^2 - 48 = 0$$

Построим график зависимости $t$ от $x$ и проанализируем его. Для этого последовательно раскроем модули.

$$\begin{cases} t = x - 2a -1 + x -2a + 1 , \text{ при }x \geq 2a + 1\\ t = -x + 2a + 1 + x - 2a + 1, \text{ при } 2a - 1< x < 2a + 1\\ t = -x + 2a + 1 - x + 2 a - 1, \text{ при } x \leq 2a - 1 \\ \end{cases}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow\begin{cases} t = 2x - 4a, \text{ при }x \geq 2a + 1\\ t = 2, \text{ при } 2a - 1< x < 2a + 1\\ t = -2x + 4a, \text{ при } x \leq 2a - 1 \\ \end{cases}$$

Строим график:

Заметим, что при:

1. $t < 2$ исходное уравнение не будет иметь решений.

2. $t = 2$ исходное уравнение будет иметь бесконечно много решений.

3. $t > 2$ исходное уравнение будет иметь 2 решения для каждого такого значения $t$.

Исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения, если:

a) Квадратное уравнение $t^2 + at + a^2 - 48 = 0$ имеет ровно 1 корень, больший $2$.

б) Квадратное уравнение $t^2 + at + a^2 - 48 = 0$ будет иметь 2 различных корня, один из которых строго больше $2$, а второй строго меньше $2$.

Последовательно рассмотрим данные случаи:

а) Зададим необходимые условия и составим систему:

$$\begin{cases} D = 0\\ t_{0} > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 - 4a^2+ 192 = 0\\ -\tfrac{a}{2} > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a^2 - 192 = 0\\ a < -4 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a = \pm8\\ a < -4 \end{cases} \Leftrightarrow a = -8$$

б) Графиком квадратичной функции $t^2 + at + a^2 - 48$ является парабола с ветями, направленными вверх. Для того чтобы корни уравнения $t^2 + at + a^2 - 48 = 0$ находились по разные стороны от точки $t = 2$ необходимо, чтобы значение функции в этой точке было строго отрицательным: $$f(t) = t^2 + at + a^2 - 48$$

$$f(2) < 0 \Leftrightarrow 4 + 2a + a^2 - 48 < 0 \Leftrightarrow a^2 + 2a - 44 < 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} a < -1 + 3\sqrt{5}\\ a > -1 - 3\sqrt5 \end{cases}$$

Объединяя полученные значения, получаем:

$$(-1 - 3\sqrt5; -1 + 3\sqrt5) \cup \{-8\}$$

Ответ: $(-1 - 3\sqrt5; -1 + 3\sqrt5) \cup \{-8\}$

$$(*) x^2 + 6x + 9 - a^2 \mathrel{=}\llap{/\,} 0$$

Преобразуем знаменатель: $$x^2 + 6x + 9 - a^2 = (x + 3)^2 - a^2 = (x + 3 - a)(x + 3 + a) \mathrel{=}\llap{/\,} 0$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x \mathrel{=}\llap{/\,} a - 3 \\ x \mathrel{=}\llap{/\,} -a - 3 \end{cases}$$

Найдем корни числителя: $$4x^2 - a^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{a^2}{4} \Rightarrow x = \pm\frac{a}{2}$$

Проверим условия для каждого корня:

1. Для $x = \frac{a}{2}$: $$\frac{a}{2} \mathrel{=}\llap{/\,} a - 3 \Rightarrow a \mathrel{=}\llap{/\,} 6$$ $$\frac{a}{2} \mathrel{=}\llap{/\,} -a - 3 \Rightarrow 3a \mathrel{=}\llap{/\,} -6 \Rightarrow a \mathrel{=}\llap{/\,} -2$$

2. Для $x = -\frac{a}{2}$: $$-\frac{a}{2} \mathrel{=}\llap{/\,} a - 3 \Rightarrow -3a \mathrel{=}\llap{/\,} -6 \Rightarrow a \mathrel{=}\llap{/\,} 2$$ $$-\frac{a}{2} \mathrel{=}\llap{/\,} -a - 3 \Rightarrow a \mathrel{=}\llap{/\,} -6$$

3. Проверим совпадение корней: $$\frac{a}{2} = -\frac{a}{2} \Rightarrow a = 0$$

Таким образом, уравнение имеет ровно два различных корня при: $$a \in (-\infty; -6) \cup (-6; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -6) \cup (-6; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; +\infty)$

$$(*) x^2 - 4ax + 5a \geq 0$$

Преобразуем уравнение: $$|x^2 - a^2| = |x - a|\cdot\sqrt{x^2 - 4ax + 5a}$$

Разложим левую часть на множители: $$|x - a|\cdot|x + a| = |x - a|\cdot\sqrt{x^2 - 4ax + 5a}$$

Перенесем все в одну сторону: $$|x - a|\left(|x + a| - \sqrt{x^2 - 4ax + 5a}\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &|x - a| = 0 \\ &|x + a| = \sqrt{x^2 - 4ax + 5a} \end{aligned} \right.$$

1. Первое уравнение: $$|x - a| = 0 \Rightarrow x = a$$

Проверим условия для $x = a$: $$a^2 - 4a^2 + 5a \geq 0 \Rightarrow -3a^2 + 5a \geq 0 \Rightarrow 3a^2 - 5a \leq 0 \Rightarrow a \in \left[0; \frac{5}{3}\right]$$

1. Второе уравнение: $$|x + a| = \sqrt{x^2 - 4ax + 5a}$$

Возведем обе части в квадрат: $$(x + a)^2 = x^2 - 4ax + 5a \Rightarrow x^2 + 2ax + a^2 = x^2 - 4ax + 5a \Rightarrow 6ax + a^2 - 5a = 0$$ $$a(6x + a - 5) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &a = 0 \\ &x = \frac{5 - a}{6} \end{aligned} \right.$$

Проверим условия для $a = 0$: $$x^2 \geq 0 \text{ выполняется для всех } x \in \mathbb{R}$$

Проверим условия для $x = \frac{5 - a}{6}$: $$\left(\frac{5 - a}{6}\right)^2 - 4a\left(\frac{5 - a}{6}\right) + 5a \geq 0$$ $$\frac{(5 - a)^2}{36} - \frac{20a - 4a^2}{6} + 5a \geq 0$$ $$\frac{25 - 10a + a^2}{36} - \frac{20a - 4a^2}{6} + 5a \geq 0$$ $$\frac{25 - 10a + a^2}{36} - \frac{120a - 24a^2}{36} + \frac{180a}{36} \geq 0$$ $$25 - 10a + a^2 - 120a + 24a^2 + 180a \geq 0$$ $$25a^2 + 50a + 25 \geq 0 \Rightarrow (5a + 5)^2 \geq 0$$ Это выполняется для всех $a \in \mathbb{R}$.

Проверим совпадение корней: $$a = \frac{5 - a}{6} \Rightarrow 6a = 5 - a \Rightarrow 7a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{7}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно два различных корня при:

$$a \in \left(0; \frac{5}{7}\right) \cup \left(\frac{5}{7}; \frac{5}{3}\right]$$

Ответ: $\left(0; \frac{5}{7}\right) \cup \left(\frac{5}{7}; \frac{5}{3}\right]$

$$(*) x^2 + 3x - a \geq 0 \\$$

Преобразуем уравнение:

$$x^4 - 9x^2 + a^2 = (x^2 + 3x - a)^2$$

Раскроем правую часть: $$x^4 - 9x^2 + a^2 = x^4 + 9x^2 + a^2 + 6x^3 - 2a x^2 - 6a x$$

Упростим: $$-9x^2 = 9x^2 + 6x^3 - 2a x^2 - 6a x$$ $$6x^3 + 18x^2 - 2a x^2 - 6a x = 0$$ $$6x^2(x + 3) - 2a x(x + 3) = 0$$ $$(x + 3)(6x^2 - 2a x) = 0$$ $$(x + 3) \cdot x \cdot (6x - 2a) = 0$$

Получаем корни: $$x_1 = -3, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = \frac{a}{3}$$

Найдём значения параметра $a$, при которых корни уравнения удовлетворяют условию $(*)$. Для этого подставим их в $(*)$:

1. Для $x_1 = -3$: $$9 - 9 - a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$$

2. Для $x_2 = 0$: $$0 + 0 - a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$$

3. Для $x_3 = \frac{a}{3}$: $$\left(\frac{a}{3}\right)^2 + 3 \cdot \frac{a}{3} - a \geq 0 \Rightarrow \frac{a^2}{9} \geq 0 \Rightarrow a \in \mathbb{R}$$

Проверим совпадение корней:

1. $x_1 = x_2$: $$-3 \mathrel{=}\llap{/\,}0 \quad \text{не совпадают.}$$

2. $x_1 = x_3$: $$-3 = \frac{a}{3} \Rightarrow a = -9$$

3. $x_2 = x_3$: $$0 = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 0$$

Отметим количество решений на оси:

Таким образом, уравнение имеет три различных корня при:

$$a \in (-\infty; -9) \cup (-9; 0)$$

Ответ: $(-\infty; -9) \cup (-9; 0)$

$$(*) \begin{cases} x - a \geq 0 \\ 0 \leq x \leq \pi \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{x - a}(\sin x - \cos x) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{x - a} = 0 \\ &\sin x = \cos x \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{x - a} = 0 \Rightarrow x = a$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = a$ является корнем на отрезке $[0; \pi]$, для этого подставим его в $(*)$: $$0 \leq a \leq \pi$$

Второе уравнение: $$\sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

На отрезке $[0; \pi]$ это уравнение имеет единственное решение: $$x = \frac{\pi}{4}$$

Проверим условия для $x = \frac{\pi}{4}$: $$\frac{\pi}{4} - a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq \frac{\pi}{4}$$

Проверим совпадение корней: $$a = \frac{\pi}{4}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; \pi]$ при: $$a \in (-\infty; 0) \cup \left[\frac{\pi}{4}; \pi\right]$$

Ответ: $(-\infty; 0) \cup \left[\frac{\pi}{4}; \pi\right]$