Тип 15 № 10868

$$(*) \begin{cases} 3a - x > 0 \\ 2x + 2a - 5 > 0 \\ x - a > 0 \\ 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$$

Преобразуем уравнение: $$\ln(3a - x)\left(\ln(2x + 2a - 5) - \ln(x - a)\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\ln(3a - x) = 0 \\ &\ln(2x + 2a - 5) = \ln(x - a) \end{aligned} \right.$$

1. Первое уравнение: $$\ln(3a - x) = 0 \Rightarrow 3a - x = 1 \Rightarrow x = 3a - 1$$

Проверим условия для $x = 3a - 1$: $$\begin{cases} 3a - (3a - 1) > 0 \\ 2(3a - 1) + 2a - 5 > 0 \\ (3a - 1) - a > 0 \\ 0 \leq 3a - 1 \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 > 0 \\ 8a - 7 > 0 \\ 2a - 1 > 0 \\ \frac{1}{3} \leq a \leq 1 \end{cases} \Rightarrow a \in \left(\frac{7}{8}; 1\right]$$

1. Второе уравнение: $$\ln(2x + 2a - 5) = \ln(x - a) \Rightarrow 2x + 2a - 5 = x - a \Rightarrow x = 5 - 3a$$

Проверим условия для $x = 5 - 3a$: $$\begin{cases} 3a - (5 - 3a) > 0 \\ 2(5 - 3a) + 2a - 5 > 0 \\ 0 \leq 5 - 3a \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6a - 5 > 0 \\ -4a + 5 > 0 \\ 1 \leq a \leq \frac{5}{3} \end{cases} \Rightarrow a \in \left[1; \frac{5}{4}\right)$$

Проверим совпадение корней: $$3a - 1 = 5 - 3a \Rightarrow a = 1$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; 2]$ при: $$a \in \left(\frac{7}{8}; \frac{5}{4}\right)$$

Ответ: $\left(\frac{7}{8}; \frac{5}{4}\right)$