Тип 18 № 10900

$$(*) \begin{cases} 5x - a > 0 \\ 6x + a > 0 \\ 4x - 3 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{4x - 3}\left(\ln(5x - a) - \ln(6x + a)\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{4x - 3} = 0 \\ &\ln(5x - a) = \ln(6x + a) \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{4x - 3} = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4} \in [0; 1]$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{3}{4}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$: $$\begin{cases} 5\cdot\tfrac{3}{4} - a > 0 \\ 6\cdot\tfrac{3}{4} + a > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < \frac{15}{4} \\ a > -\frac{9}{2} \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left(-\frac{9}{2}; \frac{15}{4}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(5x - a) = \ln(6x + a) \Rightarrow 5x - a = 6x + a \Rightarrow x = -2a$$

Проверим условия для $x = -2a$: $$\begin{cases} 5(-2a) - a > 0 \\ 4(-2a) - 3 \geq 0 \\ 0 \leq -2a \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -11a > 0 \\ -8a - 3 \geq 0 \\ -0.5 \leq a \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ a \leq -\frac{3}{8} \\ -0.5 \leq a \leq 0 \end{cases} \Rightarrow a \in \left[-\frac{1}{2}; -\frac{3}{8}\right]$$

Проверим совпадение корней: $$-2a = \frac{3}{4} \Rightarrow a = -\frac{3}{8}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$ при: $$a \in \left(-\frac{9}{2}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{8}; \frac{15}{4}\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{9}{2}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{8}; \frac{15}{4}\right)$