Тип 18 № 10901

Данное уравнение равносильно системе:

$$\begin{cases} 2a - x^2 + 3x = 0\\ x \mathrel{=}\llap{/\,} a^2 \end{cases}$$

Числитель дроби $2a - x^2 + 3x$ является квадратичной функией. Уравнение $2a - x^2 + 3x = 0$ имет ровно 2 различных корня $\Leftrightarrow$ $D > 0$.

$$D = 9 + 8a > 0 \Leftrightarrow a > -\frac{9}{8}$$

Найдём значения параметра $a$ при которых корни числителя совпадают с корнями знаменателя. Для этого подставим в числитель $x = a^2$.

$$a^4 - 3a^2 - 2a \mathrel{=}\llap{/\,} 0 \Leftrightarrow a(a^3 - 3a - 2) \mathrel{=}\llap{/\,} 0 \Leftrightarrow a(a^3 - a - 2a - 2) \mathrel{=}\llap{/\,} 0\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a(a(a^2 - 1) + 2(a - 1)) \mathrel{=}\llap{/\,} 0 \Leftrightarrow a(a(a - 1)(a + 1) - 2(a + 1)) \mathrel{=}\llap{/\,} 0 \Leftrightarrow a(a + 1)(a^2 - a - 2) \mathrel{=}\llap{/\,} 0\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a(a + 1)^2(a - 2) \mathrel{=}\llap{/\,} 0$$

$$a \mathrel{=}\llap{/\,} 0, a \mathrel{=}\llap{/\,} -1, a \mathrel{=}\llap{/\,} 2$$

С учётом $D > -\frac{9}{8}$:

$$a \in \left(-\frac{9}{8}; -1\right) \cup (-1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$$

Ответ: $\left(-\frac{9}{8}; -1\right) \cup (-1; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$