Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
5x−3⋅ln(3x−a)=5x−3⋅ln(4x+a)
имеет ровно один корень на отрезке [0;1].
Источник: Досрочная волна ЕГЭ-2023
Решение:
(∗)⎩⎨⎧3x−a>04x+a>05x−3≥00≤x≤1
Уравнение можно переписать в виде:
5x−3(ln(3x−a)−ln(4x+a))=0
Это равносильно совокупности:
[5x−3=0ln(3x−a)=ln(4x+a)
Первое уравнение:
5x−3=0⇒x=53∈[0;1]
Проверим, при каких значениях параметра a, x=53 является корнем, для этого подставим его в (∗):
{59−a>0512+a>0⇔{a<59a>−512⇒a∈(−512;59)
Второе уравнение:
ln(3x−a)=ln(4x+a)⇒3x−a=4x+a⇒x=−2a
Проверим условия:
⎩⎨⎧4x+a>00≤x≤15x−3≥0⇔⎩⎨⎧4(−2a)+a>00≤−2a≤15(−2a)−3≥0⇔⎩⎨⎧−7a>00≥a≥−21a≤−103⇒⇒a∈[−21;−103]
Замечание: одно из условий 3x−a или 4x+a можно опустить для этого корня при проверке, так как для решения уравнения ln(3x−a)=ln(4x+a) достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из них.
Проверим совпадение корней:
53=−2a⇒a=−103
Пересекая значения параметра a, при которых x=53 и x=−2a являются корнями уравнения, мы получим значения параметра, при которых исходное уравнение имеет два корня на отрезке [0;1], что нам не подходит. Соответственно, в ответ мы возьмём только те значения параметра, при которых ровно 1 корень является решением уравнения, с учётом совпадения корней при a=−103: