Уравнения с параметром

$$(*) x^2 + 3x - a \geq 0 \\$$

Преобразуем уравнение:

$$x^4 - 9x^2 + a^2 = (x^2 + 3x - a)^2$$

Раскроем правую часть: $$x^4 - 9x^2 + a^2 = x^4 + 9x^2 + a^2 + 6x^3 - 2a x^2 - 6a x$$

Упростим: $$-9x^2 = 9x^2 + 6x^3 - 2a x^2 - 6a x$$ $$6x^3 + 18x^2 - 2a x^2 - 6a x = 0$$ $$6x^2(x + 3) - 2a x(x + 3) = 0$$ $$(x + 3)(6x^2 - 2a x) = 0$$ $$(x + 3) \cdot x \cdot (6x - 2a) = 0$$

Получаем корни: $$x_1 = -3, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = \frac{a}{3}$$

Найдём значения параметра $a$, при которых корни уравнения удовлетворяют условию $(*)$. Для этого подставим их в $(*)$:

1. Для $x_1 = -3$: $$9 - 9 - a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$$

2. Для $x_2 = 0$: $$0 + 0 - a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$$

3. Для $x_3 = \frac{a}{3}$: $$\left(\frac{a}{3}\right)^2 + 3 \cdot \frac{a}{3} - a \geq 0 \Rightarrow \frac{a^2}{9} \geq 0 \Rightarrow a \in \mathbb{R}$$

Проверим совпадение корней:

1. $x_1 = x_2$: $$-3 \neq 0 \quad \text{не совпадают.}$$

2. $x_1 = x_3$: $$-3 = \frac{a}{3} \Rightarrow a = -9$$

3. $x_2 = x_3$: $$0 = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 0$$

Отметим количество решений на оси:

Таким образом, уравнение имеет три различных корня при:

$$a \in (-\infty; -9) \cup (-9; 0)$$

Ответ: $(-\infty; -9) \cup (-9; 0)$

$$(*) \begin{cases} x + 2a - 1 \geq 0 \\ x - a \geq 0 \end{cases}$$

Возведем обе части уравнения в квадрат: $$x + 2a - 1 + x - a + 2\sqrt{x + 2a - 1}\sqrt{x - a} = 1$$

Упростим: $$2\sqrt{x + 2a - 1}\sqrt{x - a} = 2 - a - 2x$$

Левая часть уравнения неотрицательна, поэтому чтобы снова возвести в квадрат необходимо наложить дополнительное условие: $2 - a - 2x \geq 0$: $$4(x + 2a - 1)(x - a) = 4 + a^2 + 4x^2 - 4a - 8x + 4ax$$

Раскроем скобки: $$4x^2 - 4ax + 8ax - 8a^2 - 4x + 4a = 4 + a^2 + 4x^2 - 4a - 8x + 4ax$$

Сократим подобные члены: $$8x - 4x - 9a^2 + 8a - 4 = 0$$

Упростим: $$4x = 9a^2 - 8a + 4$$

Отсюда: $$x = \frac{9a^2 - 8a + 4}{4}$$

Проверим ограничения:

1. $x \geq 1 - 2a$: $$\frac{9a^2 - 8a + 4}{4} \geq 1 - 2a \Rightarrow 9a^2 - 8a + 4 \geq 4 - 8a \Rightarrow 9a^2 \geq 0$$ Это выполняется для всех $a$.

2. $x \geq a$: $$\frac{9a^2 - 8a + 4}{4} \geq a \Rightarrow 9a^2 - 8a + 4 \geq 4a \Rightarrow 9a^2 - 12a + 4 \geq 0 \Rightarrow (3a - 2)^2 \geq 0$$ Это также выполняется для всех $a$.

3. $x \leq \frac{2 - a}{2}$: $$\frac{9a^2 - 8a + 4}{4} \leq \frac{2 - a}{2} \Rightarrow 9a^2 - 8a + 4 \leq 4 - 2a \Rightarrow 9a^2 - 6a \leq 0 \Rightarrow a(3a - 2) \leq 0 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow a \in \left[0; \frac{2}{3}\right]$$

Таким образом, уравнение имеет хотя бы один корень при: $$a \in \left[0; \frac{2}{3}\right]$$

Ответ: $\left[0; \frac{2}{3}\right]$

$$(*) \begin{cases} 5x - a > 0 \\ 6x + a > 0 \\ 4x - 3 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{4x - 3}\left(\ln(5x - a) - \ln(6x + a)\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{4x - 3} = 0 \\ &\ln(5x - a) = \ln(6x + a) \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{4x - 3} = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4} \in [0; 1]$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{3}{4}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$: $$\begin{cases} 5\cdot\tfrac{3}{4} - a > 0 \\ 6\cdot\tfrac{3}{4} + a > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < \frac{15}{4} \\ a > -\frac{9}{2} \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left(-\frac{9}{2}; \frac{15}{4}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(5x - a) = \ln(6x + a) \Rightarrow 5x - a = 6x + a \Rightarrow x = -2a$$

Проверим условия для $x = -2a$: $$\begin{cases} 5(-2a) - a > 0 \\ 4(-2a) - 3 \geq 0 \\ 0 \leq -2a \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -11a > 0 \\ -8a - 3 \geq 0 \\ -0.5 \leq a \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ a \leq -\frac{3}{8} \\ -0.5 \leq a \leq 0 \end{cases} \Rightarrow a \in \left[-\frac{1}{2}; -\frac{3}{8}\right]$$

Проверим совпадение корней: $$-2a = \frac{3}{4} \Rightarrow a = -\frac{3}{8}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$ при: $$a \in \left(-\frac{9}{2}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{8}; \frac{15}{4}\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{9}{2}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{8}; \frac{15}{4}\right)$

$$(*) \begin{cases} 4x^2 - a^2 > 0 \\ 2x + a > 0 \\ 3x - 5 \geq 0 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{3x - 5}\left(\ln(4x^2 - a^2) - \ln(2x + a)\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{3x - 5} = 0 \\ &\ln(4x^2 - a^2) = \ln(2x + a) \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{3x - 5} = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{5}{3}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$: $$\begin{cases} 4\cdot\left(\tfrac{5}{3}\right)^2 - a^2 > 0 \\ 2\cdot\left(\tfrac{5}{3}\right) + a > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \tfrac{100}{9} - a^2 > 0 \\ \tfrac{10}{3} + a > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a^2 < \tfrac{100}{9} \\ a > -\tfrac{10}{3} \end{cases} \Rightarrow a \in \left(-\tfrac{10}{3}; \tfrac{10}{3}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(4x^2 - a^2) = \ln(2x + a) \Rightarrow 4x^2 - a^2 = 2x + a \Rightarrow 4x^2 - 2x - a^2 - a = 0$$ $$\Rightarrow (2x - a)(2x + a) - (2x + a) = 0 \Rightarrow (2x + a)(2x - a - 1) = 0$$ $$\Rightarrow \left[ \begin{aligned} &2x + a = 0 \\ &2x - a - 1 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = -\frac{a}{2} \\ &x = \frac{a + 1}{2} \end{aligned} \right.$$

Проверим условия для $x = -\frac{a}{2}$: $$\begin{cases} 2\cdot\left(-\tfrac{a}{2}\right) + a > 0 \\ 3\cdot\left(-\tfrac{a}{2}\right) - 5 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 > 0 \\ -\frac{3a}{2} - 5 \geq 0 \end{cases}$$ Первое неравенство не выполняется, следовательно, $x = -\frac{a}{2}$ не является корнем.

Проверим условия для $x = \frac{a + 1}{2}$: $$\begin{cases} 2\cdot\left(\tfrac{a + 1}{2}\right) + a > 0 \\ 3\cdot\left(\tfrac{a + 1}{2}\right) - 5 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a + 1 + a > 0 \\ \tfrac{3a + 3}{2} - 5 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a > -\tfrac{1}{2} \\ a \geq \tfrac{7}{3} \end{cases} \Rightarrow a \geq \tfrac{7}{3}$$

Проверим совпадение корней: $$\frac{a + 1}{2} = \frac{5}{3} \Rightarrow a = \frac{7}{3}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень при: $$a \in \left(-\frac{10}{3}; \frac{7}{3}\right] \cup \left[\frac{10}{3}; +\infty\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{10}{3}; \frac{7}{3}\right] \cup \left[\frac{10}{3}; +\infty\right)$.

$$(*) \begin{cases} 3x - a > 0 \\ 4x + a > 0 \\ 5x - 3 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{5x - 3}\left(\ln(3x - a) - \ln(4x + a)\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{5x - 3} = 0 \\ &\ln(3x - a) = \ln(4x + a) \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{5x - 3} = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{5} \in [0; 1]$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{3}{5}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$:

$$\begin{cases} \tfrac{9}{5} - a > 0 \\ \tfrac{12}{5} + a > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < \tfrac{9}{5}\\ a > -\tfrac{12}{5} \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left(-\frac{12}{5}; \frac{9}{5}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(3x - a) = \ln(4x + a) \Rightarrow 3x - a = 4x + a \Rightarrow x = -2a$$ Проверим условия: $$\begin{cases} 4x + a > 0 \\ 0 \leq x \leq 1\\ 5x -3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4(-2a) + a > 0 \\ 0 \leq -2a \leq 1\\ 5(-2a) -3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -7a > 0 \\ 0 \geq a \geq -\frac{1}{2}\\ a \leq -\frac{3}{10} \end{cases} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow a \in \left[-\frac{1}{2}; -\frac{3}{10}\right]$$

Замечание: одно из условий $3x - a$ или $4x + a$ можно опустить для этого корня при проверке, так как для решения уравнения $\ln(3x - a) = \ln(4x + a)$ достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из них.

Проверим совпадение корней: $$\frac{3}{5} = -2a \Rightarrow a = -\frac{3}{10}$$

Пересекая значения параметра $a$, при которых $x = \tfrac{3}{5}$ и $x = -2a$ являются корнями уравнения, мы получим значения параметра, при которых исходное уравнение имеет два корня на отрезке $[0; 1]$, что нам не подходит. Соответственно, в ответ мы возьмём только те значения параметра, при которых ровно $1$ корень является решением уравнения, с учётом совпадения корней при $a = -\tfrac{3}{10}$:

$$a \in \left(-\frac{12}{5}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{10}; \frac{9}{5}\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{12}{5}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{10}; \frac{9}{5}\right)$.