Тип 12 № 11159

Найдём производную функции: $$y' = \left(5\sin x + \frac{24}{\pi}x + 6\right)' = 5\cos x + \frac{24}{\pi}$$

Анализ производной: Так как $-1 \leq \cos x \leq 1$, то: $$-5 + \frac{24}{\pi} \leq y' \leq 5 + \frac{24}{\pi}$$ Поскольку $\frac{24}{\pi} > 6 \quad(\frac{24}{4} = 6)$ а $4$ > $\pi$, то $\frac{24}{\pi} > \frac{24}{4} = 6 > 5 \implies y' > 0$ на всём отрезке.

Функция строго возрастает, поэтому наименьшее значение в левом конце: $$y\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = 5\sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + \frac{24}{\pi}\cdot\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + 6 = -2.5 - 20 + 6 = -16,5$$