Наибольшее и наименьшее значение функций

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x-8)e^{x-7}\right)' = e^{x-7} + (x-8)e^{x-7} = e^{x-7}(x - 8 + 1) = e^{x-7}(x - 7)$$

2. Найдём нули производной: $$(x-7)e^{x-7} = 0 \Rightarrow x=7$$ (так как $e^{x-7} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[6,7]$ и возрастает на $[7,8]$, поэтому $x=7$ - точка минимума.

1. Наименьшее значение: $$y(7) = (7-8)e^{0} = -1$$

1. Найдём производную функцию: $$y' = (12\cos x + 6\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}\pi + 6)' = -12\sin x + 6\sqrt{3}$$

2. Найдём нули производной: $$-12\sin x + 6\sqrt{3} = 0$$ $$12\sin x = 6\sqrt{3}$$ $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Общее решение: $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ На отрезке $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ единственный корень: $$x = \frac{\pi}{3}$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $\left[0,\frac{\pi}{3}\right]$, так как $y' > 0$ при $x \in \left[0,\frac{\pi}{3}\right)$, и убывает на $\left[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right]$, так как $y' < 0$ при $x \in \left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right]$, поэтому $x = \frac{\pi}{3}$ - точка максимума.

1. Вычисление наибольшего значения: $$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 6\sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{3} - 2\sqrt{3}\pi + 6$$ $$= 12\cdot\frac{1}{2} + 2\sqrt{3}\pi - 2\sqrt{3}\pi + 6$$ $$= 6 + 0 + 6 = 12$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(3+\frac{5\pi}{4}-5x-5\sqrt{2}\cos x\right)' = -5 + 5\sqrt{2}\sin x$$

2. Найдём нули производной: $$-5 + 5\sqrt{2}\sin x = 0$$ $$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Общее решение уравнения: $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ На отрезке $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ находится только один корень: $$x = \frac{\pi}{4}$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает при $x \in \left[0,\frac{\pi}{4}\right)$ и возрастает при $x \in \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$, поэтому $x = \frac{\pi}{4}$ - точка минимума.

1. Наименьшее значение: $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3+\frac{5\pi}{4}-5\cdot\frac{\pi}{4}-5\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 3 - 5 = -2$$

1. Найдём производную функции: $$y' = (5\cos x - 6x + 4)' = -5\sin x - 6$$

2. Анализ производной: Так как $-1 \leq \sin x \leq 1$, то: $$-5 \leq -5\sin x \leq 5$$ $$-11 \leq -5\sin x - 6 \leq -1$$ Таким образом, $y' < 0$ на всём отрезке.

3. Функция строго убывает, поэтому наименьшее значение в правом конце промежутка: $$y(0) = 5\cos 0 - 6\cdot 0 + 4 = 5 + 4 = 9$$

1. Найдём производную функции: $$y' = (15x - 3\sin x + 5)' = 15 - 3\cos x$$

2. Анализ производной: Так как $-1 \leq \cos x \leq 1$, то: $$-3 \leq -3\cos x \leq 3$$ $$12 \leq 15 - 3\cos x \leq 18$$ Таким образом, $y' > 0$ на всём отрезке.

3. Функция строго возрастает, поэтому наибольшее значение в правом конце промежутка: $$y(0) = 15\cdot 0 - 3\sin 0 + 5 = 5$$