Тип 12 № 11161

Найдём производную функции: $$y' = (5\tg x - 5x + 6)' = \frac{5}{\cos^2 x} - 5$$

Анализ производной: На отрезке $[0;\frac{\pi}{4}]$ имеем $\cos^2 x \in [\frac{1}{2};1]$, поэтому: $$\frac{5}{\cos^2 x} - 5 \geq 5 - 5 = 0$$ Таким образом, $y' \geq 0$ на всём отрезке.

Функция возрастает на отрезке, поэтому наименьшее её значение будет в левом конце этого промежутка: $$y(0) = 5\tg 0 - 5\cdot 0 + 6 = 6$$