Тип 12 № 11165

1. Найдём производную функции: $$y' = (4\tg x - 4x - \pi + 5)' = \frac{4}{\cos^2 x} - 4$$

2. Найдём нули производной: $$\frac{4}{\cos^2 x} - 4 = 0 \Longleftrightarrow 4\left(\frac{1}{\cos^2x} - 1\right) = 4tg^2x \geq 0$$

Производная неотрицательна на всем отрезке, значит она возрастает на данном отрезке и поэтому наименьшее её значение будет в левом конце промежутка:

$$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 4\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 4\left(-\frac{\pi}{4}\right) - \pi + 5 = -4 + \pi - \pi + 5 = 1$$