Тип 15 № 11228

Сделаем замену $t = x^2 + 4x$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{10}{t} + 23 \geq 5t$$

Перенесем все слагаемые в левую часть: $$\frac{10 + 23t - 5t^2}{t} \geq 0 \Rightarrow \frac{-5t^2 + 23t + 10}{t} \geq 0$$

Нули числителя: $$-5t^2 + 23t + 10 = 0 \Rightarrow t = 5 \quad \text{или} \quad t = -0.4$$

Решение: $$t \in (-\infty; -\tfrac{2}{5}] \cup (0;5]$$ Получаем совокупность: $$\left[\begin{aligned} &t \leq -\tfrac{2}{5}\\ &\begin{cases} t > 0\\ t \leq 5 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x^2 + 4x \leq -\tfrac{2}{5}\\ &\begin{cases} x^2 + 4x > 0\\ x^2 + 4x \leq 5 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & 5x^2 + 20 + 2 \leq 0\\ &\begin{cases} x(x + 4) > 0\\ x^2 + 4x - 5 \leq 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & 5x^2 + 20 + 2 \leq 0\\ &\begin{cases} x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)\\ x \in [-5; 1] \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x \in \left[\tfrac{-10 - 3\sqrt{10}}{5}; \tfrac{-10 + 3\sqrt{10}}{5}\right]\\ &\begin{cases} x \in (-\infty; -4) \cup (0; +\infty)\\ x \in [-5; 1] \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x \in \left[\tfrac{-10 - 3\sqrt{10}}{5}; \tfrac{-10 + 3\sqrt{10}}{5}\right]\\ &x \in [-5;-4) \cup (0; 1] \end{aligned}\right.$$

Сравним концы второго промежутка совокупности с концами первого промежутка совокупности:

$$-4 < \tfrac{-10 -3\sqrt{10}}{5} \Leftrightarrow 20 > 10 + 3\sqrt{10} \Leftrightarrow 10 > 3\sqrt{10} \Leftrightarrow100 >90 \text{ верно }$$ $$\tfrac{-10 +3\sqrt{10}}{5} < 0 \Leftrightarrow 3\sqrt{10} < 10 \text{ верно }$$ Получаем: $x \in [-5;-4) \cup \left[\tfrac{-10 - 3\sqrt{10}}{5}; \tfrac{-10 + 3\sqrt{10}}{5}\right] \cup (0; 1]$

Ответ: $x \in [-5;-4) \cup \left[\tfrac{-10 - 3\sqrt{10}}{5}; \tfrac{-10 + 3\sqrt{10}}{5}\right] \cup (0; 1]$