Тип 12 № 11499

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 3x + 1\right)' = -x^{\frac{1}{2}} + 3$$

2. Найдём нули производной: $$-\sqrt{x} + 3 = 0 \Rightarrow x = 9$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на всем отрезке $[1,9]$, поэтому наибольшее значение в правом конце: $$y(9) = -\frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}} + 3(9) + 1 = -18 + 27 + 1 = 10$$