Тип 13 № 11516

Преобразуем уравнение, группируя слагаемые: $$(2\cos^3 x + 2\cos x) + (\sqrt{3}\cos^2 x + \sqrt{3}) = 0$$ $$2\cos x(\cos^2 x + 1) + \sqrt{3}(\cos^2 x + 1) = 0$$ $$(\cos^2 x + 1)(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$$ $$\cos^2x + 1 = 0 \text{ или } 2\cos x + \sqrt3 = 0$$ $$\cos^2 x = -1 \quad \text{не имеет решений}$$ $$2\cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{7\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}$