Уравнения

Преобразуем уравнение, группируя слагаемые: $$(2\cos^3 x + 2\cos x) - (\cos^2 x + 1) = 0$$ $$2\cos x(\cos^2 x + 1) - (\cos^2 x + 1) = 0$$ $$(\cos^2 x + 1)(2\cos x - 1) = 0$$ $$\cos^2 x + 1 = 0 \text{ или } 2\cos x - 1= 0$$ $$\cos^2 x = -1 \quad \text{не имеет корней}$$ $$2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ 2\pi; \frac{7\pi}{2} \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$

Корень, принадлежащий промежутку: $$\frac{7\pi}{3}$$

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{7\pi}{3}$

Преобразуем уравнение, группируя слагаемые: $$(2\cos^3 x + 2\cos x) + (\sqrt{3}\cos^2 x + \sqrt{3}) = 0$$ $$2\cos x(\cos^2 x + 1) + \sqrt{3}(\cos^2 x + 1) = 0$$ $$(\cos^2 x + 1)(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$$ $$\cos^2x + 1 = 0 \text{ или } 2\cos x + \sqrt3 = 0$$ $$\cos^2 x = -1 \quad \text{не имеет решений}$$ $$2\cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -2\pi; -\frac{\pi}{2} \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{7\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{6}; -\frac{5\pi}{6}$

Преобразуем уравнение, группируя слагаемые: $$(2\cos^3 x + 2\cos x) - (\cos^2 x + 1) = 0$$ $$2\cos x(\cos^2 x + 1) - (\cos^2 x + 1) = 0$$ $$(\cos^2 x + 1)(2\cos x - 1) = 0$$ $$\cos^2 x + 1 = 0 \text{ или } 2\cos x - 1= 0$$ $$\cos^2 x = -1 \quad \text{не имеет решений}$$ $$2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ 2\pi; \frac{7\pi}{2} \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$

Корень, принадлежащий промежутку: $$\frac{7\pi}{3}$$

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{7\pi}{3}$

$\left(*\right) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z;$

Сделаем замену $t = \tg x$: $$t^3 - t^2 - 3t + 3 = 0$$ $$(t^3 - t^2) - (3t - 3) = 0$$ $$t^2(t - 1) - 3(t - 1) = 0$$ $$(t - 1)(t^2 - 3) = 0$$

$$\tg x = 1 \quad \text{или} \quad \tg x = \pm\sqrt{3}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на промежутке $\left[ \frac{3\pi}{2}; 3\pi \right]$:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие промежутку: $$\frac{5\pi}{3};\frac{9\pi}{4};\frac{7\pi}{3};\frac{8\pi}{3}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + \pi k;\pm\frac{\pi}{3} + \pi k; k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{5\pi}{3};\frac{9\pi}{4};\frac{7\pi}{3};\frac{8\pi}{3}$

Преобразуем уравнение: $$(2x \cos x - 8\cos x) - (x - 4) = 0$$ $$2\cos x(x - 4) - (x - 4) = 0$$ $$(x - 4)(2\cos x - 1) = 0$$

$$x = 4 \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = 4, \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; \pi \right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{2} \leq 4 \leq \pi \text{ неверно} \Rightarrow 4 \notin \left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}$$

Ответ: а) $4; \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}$