Тип 13 № 11520

Преобразуем уравнение: $$(2\cos^3 x + 2\cos x) - (\cos^2 x + 1) = 0$$ $$2\cos x(\cos^2 x + 1) - (\cos^2 x + 1) = 0$$ $$(\cos^2 x + 1)(2\cos x - 1) = 0$$

$$\cos^2 x + 1 = 0 \quad \text{не имеет решений}$$ $$2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ 2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$

Корень, принадлежащий отрезку: $$\frac{7\pi}{3}$$

Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in Z$ б) $\frac{7\pi}{3}$