Тип 13 № 11524

Упростим уравнение, используя свойства тригонометрических функций: $$\sin 2x - 2\sin x + \cos x - 1 = 0$$ $$2\sin x \cos x - 2\sin x + \cos x - 1 = 0$$ $$2\sin x (\cos x - 1) + (\cos x - 1) = 0$$ $$(\cos x - 1)(2\sin x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} \cos x = 1 \\ \sin x = -\frac{1}{2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x = 2\pi k \\ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \\\\ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{array}\right., k \in Z$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi; \frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $2\pi; \frac{19\pi}{6}$