Финансовая математика

Пусть:

• $S = 300$ тыс. рублей — сумма кредита.
• $n = 6$ лет — срок кредита.
• Ежегодное уменьшение долга: $\frac{S}{n} = 50$ тыс. рублей.

Математическая модель

Общая сумма выплат состоит из суммы кредита и начисленных процентов: $$435 = 300 + \text{проценты} \Rightarrow \text{проценты} = 135 \text{ тыс. рублей}$$

Сумма начисленных процентов: $$135 = S \cdot \frac{r}{100} + \frac{5}{6}S \cdot \frac{r}{100} + \frac{4}{6}S \cdot \frac{r}{100} + \frac{3}{6}S \cdot 0.15 + \frac{2}{6}S \cdot 0.15 + \frac{1}{6}S \cdot 0.15$$

Упростим выражение: $$135 = \frac{r}{100} \left( S + \frac{5}{6}S + \frac{4}{6}S \right) + 0.15 \left( \frac{3}{6}S + \frac{2}{6}S + \frac{1}{6}S \right)$$ $$135 = \frac{r}{100} \cdot 2.5S + 0.15 \cdot S$$ $$135 = 7.5r + 45$$ $$7.5r = 90 \Rightarrow r = 12$$

Ответ: 12

Математическая модель

Пусть:

• $S = 1\,209\,600$ рублей — сумма кредита.
• $r = 10\%$ — годовая процентная ставка.
• $n = 2$ года — срок кредита.
• $x$ — размер ежегодного платежа.
• $k = 1 + \frac{r}{100} = 1.1$ — коэффициент увеличения долга.

Долг на конец каждого года рассчитывается по следующей схеме:

1. Начисляются проценты на остаток долга: $\text{Долг} \times \frac{r}{100}$
2. Вычитается платеж $x$

Уравнение для $x$

После второго года долг должен быть равен нулю: $$\left(S \cdot k - x\right) \cdot k - x = 0$$

Раскроем скобки: $$S \cdot k^2 - x \cdot k - x = 0$$

Выразим $x$: $$x(k + 1) = S \cdot k^2$$ $$x = \frac{S \cdot k^2}{k + 1}$$

Подстановка значений

Подставим $S = 1\,209\,600$ и $k = 1.1$: $$x = \frac{1\,209\,600 \cdot (1.1)^2}{2.1} = \frac{1\,209\,600 \cdot 1.21}{2.1}$$ $$x = \frac{1\,463\,616}{2.1} = 696\,960 \text{ рублей}$$

Ответ: 696,960 рублей

Математическая модель

Пусть:

• $S = 1\,209\,600$ рублей — сумма кредита.
• $r = 10\%$ — годовая процентная ставка.
• $n = 2$ года — срок кредита.
• $x$ — размер ежегодного платежа.
• $k = 1 + \frac{r}{100} = 1.1$ — коэффициент увеличения долга.

Долг на конец каждого года рассчитывается по следующей схеме:

1. Начисляются проценты на остаток долга: $\text{Долг} \times \frac{r}{100}$
2. Вычитается платеж $x$

Уравнение для $x$

После второго года долг должен быть равен нулю: $$\left(S \cdot k - x\right) \cdot k - x = 0$$

Раскроем скобки: $$S \cdot k^2 - x \cdot k - x = 0$$

Выразим $x$: $$x(k + 1) = S \cdot k^2$$ $$x = \frac{S \cdot k^2}{k + 1}$$

Подстановка значений

Подставим $S = 1\,209\,600$ и $k = 1.1$: $$x = \frac{1\,209\,600 \cdot (1.1)^2}{2.1} = \frac{1\,209\,600 \cdot 1.21}{2.1}$$ $$x = \frac{1\,463\,616}{2.1} = 696\,960 \text{ рублей}$$

Ответ: 696,960 рублей

Математическая модель

Пусть:

• $S = 680$ тыс. рублей — сумма кредита
• $r = 12,5\%$ — месячная процентная ставка
• $k = 1 + \frac{12,5}{100} = \frac{9}{8}$ — коэффициент увеличения долга
• $x$ — размер ежемесячного платежа

Уравнение для $x$

После второго месяца долг должен быть равен нулю: $$\frac{9}{8} \cdot \left( \frac{9}{8} \cdot 680 - x \right) - x = 0$$

Раскроем скобки: $$\frac{9}{8} \cdot \frac{9}{8} \cdot 680 - \frac{9}{8}x - x = 0$$

Выразим $x$: $$x \left( \frac{9}{8} + 1 \right) = 680 \cdot \left( \frac{9}{8} \right)^2$$ $$x \cdot \frac{17}{8} = 680 \cdot \frac{81}{64}$$ $$x = \frac{680 \cdot 81 \cdot 8}{64 \cdot 17} = 405 \text{ тыс. рублей}$$

Расчёт переплаты

Общая сумма выплат: $$2x = 2 \cdot 405 = 810 \text{ тыс. рублей}$$

Переплата: $$810 - 680 = 130 \text{ тыс. рублей} = 130\,000 \text{ рублей}$$

Ответ: 130,000 рублей

Пусть:

• $S$ — сумма кредита (рублей)
• $r = 20\%$ — годовая процентная ставка
• $k = 1 + \frac r {100} = 1.2$ — коэффициент увеличения долга
• $x$ — размер ежегодного платежа
• $n = 3$ года — срок кредита

Математическая модель

1. Уравнение полного погашения: $$1.2(1.2(1.2S - x) - x) - x = 0$$

2. Раскрываем скобки: $$1.728S - 1.44x - 1.2x - x = 0$$

3. Суммируем коэффициенты: $$1.728S = (1.44 + 1.2 + 1)x$$ $$1.728S = 3.64x$$ $$x = \frac{1.728S}{3.64}$$

4. Связь с переплатой: $$3x = S + 675\,500$$ $$3 \cdot \frac{1.728S}{3.64} = S + 675\,500$$

5. Решаем уравнение: $$\frac{5.184S}{3.64} = S + 675\,500$$ $$5.184S = 3.64S + 2\,458\,820$$ $$1.544S = 2\,458\,820$$ $$S = \frac{2\,458\,820}{1.544} = 1\,592\,500 \text{ рублей}$$

6. Общая сумма выплат: $$3x = S + 675\,500 = 2\,268\,000 \text{ рублей}$$

Ответ: 2,268,660 рублей