Тип 3 № 11804

Пусть грань-квадрат имеет сторону $a$. Тогда диагональ этой грани равна $a\sqrt{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда ($\sqrt{8}$), диагональю грани ($a\sqrt{2}$) и третьим ребром ($h$). Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью грани равен $45^\circ$, поэтому: $$h = \sqrt{8} \cdot \sin 45^\circ = \sqrt{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2.$$

По теореме Пифагора: $$(\sqrt{8})^2 = (a\sqrt{2})^2 + h^2 \Rightarrow 8 = 2a^2 + 4 \Rightarrow a^2 = 2 \Rightarrow a = \sqrt{2}.$$

Объём параллелепипеда: $$V = a \cdot a \cdot h = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2 = 4.$$