Тип 16 № 11880

Математическая модель

Пусть:

• $S = 1\,209\,600$ рублей — сумма кредита.
• $r = 10\%$ — годовая процентная ставка.
• $n = 2$ года — срок кредита.
• $x$ — размер ежегодного платежа.
• $k = 1 + \frac{r}{100} = 1.1$ — коэффициент увеличения долга.

Долг на конец каждого года рассчитывается по следующей схеме:

1. Начисляются проценты на остаток долга: $\text{Долг} \times \frac{r}{100}$
2. Вычитается платеж $x$

Уравнение для $x$

После второго года долг должен быть равен нулю: $$\left(S \cdot k - x\right) \cdot k - x = 0$$

Раскроем скобки: $$S \cdot k^2 - x \cdot k - x = 0$$

Выразим $x$: $$x(k + 1) = S \cdot k^2$$ $$x = \frac{S \cdot k^2}{k + 1}$$

Подстановка значений

Подставим $S = 1\,209\,600$ и $k = 1.1$: $$x = \frac{1\,209\,600 \cdot (1.1)^2}{2.1} = \frac{1\,209\,600 \cdot 1.21}{2.1}$$ $$x = \frac{1\,463\,616}{2.1} = 696\,960 \text{ рублей}$$

Ответ: 696,960 рублей