Тип 16 № 11881

Математическая модель

Пусть:

• $S = 680$ тыс. рублей — сумма кредита
• $r = 12,5\%$ — месячная процентная ставка
• $k = 1 + \frac{12,5}{100} = \frac{9}{8}$ — коэффициент увеличения долга
• $x$ — размер ежемесячного платежа

Уравнение для $x$

После второго месяца долг должен быть равен нулю: $$\frac{9}{8} \cdot \left( \frac{9}{8} \cdot 680 - x \right) - x = 0$$

Раскроем скобки: $$\frac{9}{8} \cdot \frac{9}{8} \cdot 680 - \frac{9}{8}x - x = 0$$

Выразим $x$: $$x \left( \frac{9}{8} + 1 \right) = 680 \cdot \left( \frac{9}{8} \right)^2$$ $$x \cdot \frac{17}{8} = 680 \cdot \frac{81}{64}$$ $$x = \frac{680 \cdot 81 \cdot 8}{64 \cdot 17} = 405 \text{ тыс. рублей}$$

Расчёт переплаты

Общая сумма выплат: $$2x = 2 \cdot 405 = 810 \text{ тыс. рублей}$$

Переплата: $$810 - 680 = 130 \text{ тыс. рублей} = 130\,000 \text{ рублей}$$

Ответ: 130,000 рублей