Тип 15 № 11897

По свойству биссектрисы для угла $A$: $$\frac{NB}{NC} = \frac{AB}{AC} = \frac{a}{b}$$ Аналогично для угла $C$: $$\frac{BM}{MA} = \frac{BC}{CA} = \frac{a}{b}$$

Откуда: $$\frac{BN}{BC} = \frac{BM}{BA} = \frac{a}{a + b}$$

Получаем, что треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

$$\frac{MN}{AC} = \frac{MB}{AB} = \frac{BN}{BC}$$

Откуда: $$MN = \frac{AC \cdot BN}{BC} = \frac{ab}{a + b}$$

Ответ: $\frac{ab}{a + b}$