Тип 13 № 11995

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = -\cos x$$ Подставляем в уравнение: $$\frac{\sin 2x}{-\cos x} = \sqrt{2}$$ $$\frac{2\sin x \cos x}{-\cos x} = \sqrt{2}$$ $$\left(*\right) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z;$$ $$-2\sin x = \sqrt{2}$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{13\pi}{4}$$

Ответ: а) $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{4}$