Тип 13 № 11997

Упростим уравнение: $$2\sin 2x - 2\sin x - 2\cos x + 1 = 0$$ $$4\sin x \cos x - 2\sin x - 2\cos x + 1 = 0$$ $$(2\sin x - 1)(2\cos x - 1) = 0$$ $$\sin x = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$$ $$\frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{11\pi}{3}, -\frac{23\pi}{6}, -\frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{11\pi}{3}, -\frac{23\pi}{6}, -\frac{19\pi}{6}$