Тип 14 № 12139

а)

Докажем, что $SH \perp AB$.

Так как $CO \in CH$ – проекция $SC$ на $(ABC)$ и $AB \perp CH$, то по теореме о трёх перпендикулярах: $$SC \perp AB \Rightarrow AB \perp (CSH)$$ Так как $SH \in (CSH)$, получаем, что $SH \perp AB$.

Рассмотрим треугольники $ASH$ и $HSB$: $$SH^2 = SA^2 - AH^2$$ $$SH^2 = SB^2 - HB^2$$ Тогда: $$SA^2 - AH^2 = SB^2 - HB^2 \Leftrightarrow SA^2 - SB^2 = AH^2 - HB^2$$

Рассмотрим треугольники $ACH$ и $HCB$: $$\begin{cases} AH^2 = AC^2 - CH^2\\ HB^2 = CB^2 - CH ^2 \end{cases}$$

Вычтем из первого уравнения второе: $$AH^2 - HB^2 = AC^2 - CH^2 - (CB^2 - CH^2) = AC^2 - CB^2$$ Откуда следует, что: $$SA^2 - SB^2 = AC^2 - BC^2$$ Что и требовалось доказать.

б) Обозначим известные нам элементы.

Найдём площадь основания пирамиды через формулу Герона: $$p = \frac{AC + CB + AB}{2} = \frac{20 + 25 + 5\sqrt3}{2} = \frac{45 + 5\sqrt3}{2}$$ $$S_{ABC} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} =$$ $$=\sqrt{(\tfrac{45 + 5\sqrt3}{2})(\tfrac{45 + 5\sqrt3}{2} - 20)(\tfrac{45 + 5\sqrt3}{2} - 25)(\tfrac{45 + 5\sqrt3}{2} - 5\sqrt3)} =$$ $$= \sqrt{(\tfrac{45 + 5\sqrt3}{2})(\tfrac{5 + 5\sqrt3}{2})(\tfrac{5\sqrt3 - 5}{2})(\tfrac{45 - 5\sqrt3}{2})} = \frac{1}{4}\sqrt{(45 - 5\sqrt3)(45 + 5\sqrt3)(5\sqrt3 + 5)(5\sqrt3 - 5 )} =$$ Заметим под корнем две разности квадратов: $$=\frac{1}{4}\sqrt{(45^2 - 75)(75 - 25)} = \frac{1}{4}\sqrt{5^4((9^2 - 3)\cdot2)} = \frac{25}{4}\sqrt{78\cdot2} = \frac{25}{4}\sqrt{2^2\cdot39} = \frac{25}{2}\sqrt{39}$$

По условию $CO = OH$. Выразим высоту $CH$ через площадь треугольника $ABC$: $$S_{ABC} = \frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH \Leftrightarrow CH = \frac{2S_{ABC}}{AB} = \frac{25\sqrt{39}}{25} = \sqrt{39}$$

Значит: $$CO = OH = \frac{CH}{2} = \frac{\sqrt{39}}{2}$$

Из прямоугольного треугольника $SCO$: $$SO = \sqrt{SC^2 - CO^2} = \sqrt{250 - \tfrac{39}{4}} = \sqrt{\tfrac{961}{4}} = \frac{31}{2}$$

Найдём объём пирамиды $SABC$: $$V_{SABC} = \frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SO = \frac{1}{3}\cdot\frac{31}{2}\cdot \frac{25\sqrt{39}}{2} = \frac{775\sqrt{39}}{12}$$

Ответ: $\frac{775\sqrt{39}}{12}$