Объём фигуры

а)

Докажем, что $SH \perp AB$.

Так как $CO \in CH$ – проекция $SC$ на $(ABC)$ и $AB \perp CH$, то по теореме о трёх перпендикулярах: $$SC \perp AB \Rightarrow AB \perp (CSH)$$ Так как $SH \in (CSH)$, получаем, что $SH \perp AB$.

Рассмотрим треугольники $ASH$ и $HSB$: $$SH^2 = SA^2 - AH^2$$ $$SH^2 = SB^2 - HB^2$$ Тогда: $$SA^2 - AH^2 = SB^2 - HB^2 \Leftrightarrow SA^2 - SB^2 = AH^2 - HB^2$$

Рассмотрим треугольники $ACH$ и $HCB$: $$\begin{cases} AH^2 = AC^2 - CH^2\\ HB^2 = CB^2 - CH ^2 \end{cases}$$

Вычтем из первого уравнения второе: $$AH^2 - HB^2 = AC^2 - CH^2 - (CB^2 - CH^2) = AC^2 - CB^2$$ Откуда следует, что: $$SA^2 - SB^2 = AC^2 - BC^2$$ Что и требовалось доказать.

б) Обозначим известные нам элементы.

Найдём площадь основания пирамиды через формулу Герона: $$p = \frac{AC + CB + AB}{2} = \frac{20 + 25 + 5\sqrt3}{2} = \frac{45 + 5\sqrt3}{2}$$ $$S_{ABC} = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} =$$ $$=\sqrt{(\tfrac{45 + 5\sqrt3}{2})(\tfrac{45 + 5\sqrt3}{2} - 20)(\tfrac{45 + 5\sqrt3}{2} - 25)(\tfrac{45 + 5\sqrt3}{2} - 5\sqrt3)} =$$ $$= \sqrt{(\tfrac{45 + 5\sqrt3}{2})(\tfrac{5 + 5\sqrt3}{2})(\tfrac{5\sqrt3 - 5}{2})(\tfrac{45 - 5\sqrt3}{2})} = \frac{1}{4}\sqrt{(45 - 5\sqrt3)(45 + 5\sqrt3)(5\sqrt3 + 5)(5\sqrt3 - 5 )} =$$ Заметим под корнем две разности квадратов: $$=\frac{1}{4}\sqrt{(45^2 - 75)(75 - 25)} = \frac{1}{4}\sqrt{5^4((9^2 - 3)\cdot2)} = \frac{25}{4}\sqrt{78\cdot2} = \frac{25}{4}\sqrt{2^2\cdot39} = \frac{25}{2}\sqrt{39}$$

По условию $CO = OH$. Выразим высоту $CH$ через площадь треугольника $ABC$: $$S_{ABC} = \frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH \Leftrightarrow CH = \frac{2S_{ABC}}{AB} = \frac{25\sqrt{39}}{25} = \sqrt{39}$$

Значит: $$CO = OH = \frac{CH}{2} = \frac{\sqrt{39}}{2}$$

Из прямоугольного треугольника $SCO$: $$SO = \sqrt{SC^2 - CO^2} = \sqrt{250 - \tfrac{39}{4}} = \sqrt{\tfrac{961}{4}} = \frac{31}{2}$$

Найдём объём пирамиды $SABC$: $$V_{SABC} = \frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SO = \frac{1}{3}\cdot\frac{31}{2}\cdot \frac{25\sqrt{39}}{2} = \frac{775\sqrt{39}}{12}$$

Ответ: $\frac{775\sqrt{39}}{12}$

а) Пусть $G𝑂$ - высота пирамиды $GABCDEF$. Пусть $K$ - точка пересечения $AD$ и $EH$. Треугольники $𝑂EK$ и $KDH$ подобны, так как $𝑂E \| HD$ (по свойству правильного шестиугольника). Следовательно, $\frac{OK}{KD} =\frac{OE}{HD} =\frac{4}{3}$. Однако, $\frac{GI}{ID} =\frac{4}{3} =\frac{OK}{KD}$. Тогда треугольники $𝑂GD$ и $KID$ подобны по двум пропорциональным сторонам и общему $\angle{ODG}$, а прямые $𝑂G$ и $KI$ параллельны (по обратной теореме Фалеса), следовательно, прямая $KI$ перпендикулярна плоскости $BCD$. Таким образом, плоскость $HIE$ перпендикулярна плоскости основания (так как $KI$ лежит в $(HIE))$.

б) Объем пирамиды $DEIH$ будем искать как $\frac{1}{3} KH\cdot S_{HDE},KH=\frac{3}{7} \cdot GO, GO$ найдем из треугольника $GOD$ по теореме Пифагора $\Rightarrow GO=\sqrt{33} ,IK=\frac{3}{7}\sqrt{33}$ $$S_{DEH} =\frac{1}{2} DE\cdot DH\cdot \sin 120^{\circ } =3\sqrt{3}$$ Тогда:

$$V=\frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{3}{7}\sqrt{33} =\frac{9\sqrt{11}}{7}$$ Ответ: $\frac{9\sqrt{11}}{7}$.

а)

Так как $LMNK$ — квадрат, то $LM \parallel KN$. Поскольку $LM \subset (ABD)$, $KN \subset (ABC)$ и $(ABC) \cap (KLM) = KN$, $(ABD) \cap (KLM) = LM$, то $LM \parallel AB \parallel KN$.

По теореме Фалеса: $$\frac{AK}{KC} = \frac{BN}{NC} = \frac{3}{7}$$

Треугольники $CKN$ и $CAB$ подобны, следовательно: $$\frac{KN}{AB} = \frac{KC}{AC} = \frac{7}{10} \quad \Rightarrow \quad AB = \frac{10 \cdot KN}{7}$$

Аналогично, так как $MN \parallel LK \parallel DC$, по теореме Фалеса: $$\frac{AL}{LD} = \frac{BM}{MD} = \frac{3}{7}$$

Треугольники $ALK$ и $ADC$ подобны, следовательно: $$\frac{LK}{DC} = \frac{AL}{AD} = \frac{3}{10} \quad \Rightarrow \quad DC = \frac{10 \cdot LK}{3}$$

Так как $KLMN$ — квадрат, то $KN = LK$. Тогда: $$\frac{AB}{DC} = \frac{\dfrac{10 \cdot KN}{7}}{\dfrac{10 \cdot LK}{3}} = \frac{10 \cdot KN}{7} \cdot \frac{3}{10 \cdot KN} = \frac{3}{7}$$

б)

Пусть $h$ — высота из точки $D$ на плоскость $ABC$, $h_M$ — высота из точки $M$ на плоскость $ABC$.

Так как $M$ делит ребро $BD$ в отношении $BM:MD = 3:7$: $$\frac{h_M}{h} = \frac{BM}{BD} = \frac{3}{10} \quad \Rightarrow \quad h_M = \frac{3}{10} h$$

Треугольники $CKN$ и $CAB$ подобны с коэффициентом $k = \dfrac{7}{10}$: $$\frac{S_{CKN}}{S_{CAB}} = k^2 = \left(\frac{7}{10}\right)^2 = \frac{49}{100} \quad \Rightarrow \quad S_{CKN} = \frac{49}{100} S_{CAB}$$

Объём пирамиды $MKNC$: $$V_{MKNC} = \frac{1}{3} \cdot h_M \cdot S_{KNC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{10} h \cdot \frac{49}{100} S_{ABC} = \frac{147}{1000} \cdot \underbrace{\frac{1}{3} h \cdot S_{ABC}}_{V_{DABC}} = \frac{147}{1000} \cdot 100 = \frac{147}{10}$$

Так как $KLMN$ — квадрат, то $S_{KMN} = S_{KLM}$ (равные диагонали делят квадрат на равные части). Высоты из точки $C$ одинаковы, следовательно $V_{CMKN} = V_{CKLM}$.

Итоговый объём: $$V_{CKLMN} = V_{CMKN} + V_{CKLM} = 2 \cdot V_{MKNC} = 2 \cdot \frac{147}{10} = \frac{147}{5}$$

Ответ: ${V_{CKLMN} = \dfrac{147}{5}}$

а)

Так как $BB_{1} \perp (A_{1}B_{1}C_{1})$, $B_{1}C_{1} \perp A_{1}C_{1}$, то по теореме о трёх перпендикулярах $$BC_{1} \perp A_{1}C_{1}.$$ Следовательно, $\triangle A_{1}C_{1}B$ — прямоугольный.

б) Заметим, что $BC \perp AC$ и $BC \perp CC_{1}$, следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $$BC \perp (AA_{1}C_{1}).$$ Следовательно, $BC$ — высота пирамиды $BAA_{1}C_{1}$ с основанием $AA_{1}C_{1}$.

Так как $\triangle AA_{1}C_{1}$ — прямоугольный, то $$V_{BAA_{1}C_{1}} = \frac12 \cdot AA_{1} \cdot A_{1}C_{1} \cdot \frac{BC}{3}.$$

По теореме Пифагора: $$A_{1}C_{1} = \sqrt{26^{2} - 10^{2}} = \sqrt{16 \cdot 36} = 24,$$ $$AA_{1} = \sqrt{26^{2} - 25^{2}} = \sqrt{1 \cdot 51} = \sqrt{51},$$ $$BC = \sqrt{10^{2} - 51} = \sqrt{49} = 7.$$

Тогда объём: $$V_{BAA_{1}C_{1}} = \frac12 \cdot 24 \cdot \sqrt{51} \cdot \frac{7}{3} = 28\sqrt{51}.$$

$$\boxed{28\sqrt{51}}$$

a)

Пусть точка $N$ — середина $AB$, а $S$ — точка пересечения медиан треугольника $ABM$. Тогда имеем: $$MS : SN = 2 : 1.$$

Заметим, что точка $O$ является точкой пересечения медиан правильного треугольника $ABC$. Тогда: $$CO : ON = 2 : 1.$$

Рассмотрим плоскость $(CMN)$. В ней, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, $SO \parallel CM$, так как $$NS : SM = NO : OC = 1 : 2.$$

В правильной призме $OO_1 \parallel CC_1$, значит $SO \parallel OO_1$, то есть $S \in OO_1$.

—

b) Вычислим объёмы пирамид $ABCC_1$ и $ABCM$: $$V_{ABCC_1} = \frac13 \cdot CC_1 \cdot S_{ABC}, \qquad V_{ABCM} = \frac13 \cdot CM \cdot S_{ABC}.$$

По условию $CC_1 = AA_1 = 3$, $CM = 1$. Найдём площадь $\triangle ABC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, его сторона равна 6, значит: $$S_{ABC} = \frac{AB^2\sqrt3}{4} = 9\sqrt3.$$

Тогда искомый объём пирамиды равен: $$V_{ABMC_1} = V_{ABCC_1} - V_{ABCM} = \frac13 \cdot S_{ABC} \,(CC_1 - CM) = \frac13 \cdot 9\sqrt3 \cdot 2 = 6\sqrt3.$$

$$\boxed{6\sqrt3}$$