Тип 15 № 12324

Воспользуемся свойством биссектрисы для $CD$: $$\frac{BD}{AD} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$$

Отсюда: $$\frac{BD}{AB} = \frac{a}{a + b}$$

Рассмотрим треугольники $BDE$ и $ABC$.

Они подобны по двум углам $(\angle BED = \angle BCA \text { и } \angle BAC = \angle BDE)$ как соответственные углы при параллельных прямых $AC$ и $DE$.

Запишем соответствующие отношения: $$\frac{BD}{AB} = \frac{DE}{AC} \Rightarrow DE = \frac{BD}{AB}\cdot AC = \frac{a}{a + b}\cdot b = \frac{ab}{a + b}$$

Ответ: $\frac{ab}{a + b}$