Тип 15 № 12325

Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма за $M$, а пересечение прямых $ME$ и $AD$ за $K$.

По условию $ME \perp BC$.

Рассмотрим треугольники $KFA$ и $EFB$. Углы $FEB$ и $FKA$ равны $90^\circ$. Углы $FBE$ и $KAF$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$.

Обозначим искомый отрезок $BE$ за $x$.

Рассмотрим треугольники $BMC$ и $AMD$. Они равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $KD = BE = x$, тогда: $$AD - KD = b - x$$ Из подобия треугольников $FBE$ и $FKA$ следует: $$\frac{BE}{AK} = \frac{BF}{AF} \Leftrightarrow \frac{x}{b - x} = \frac{c}{a + c} \Leftrightarrow x(a + c) = cb - cx \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x(a + 2c) = cb \Leftrightarrow x = \frac{cb}{a + 2c}$$

Ответ: $\frac{cb}{a + 2c}$