Тип 15 № 12327

Обозначим за $x$ сторону квадрата $DEFG$.

Тогда: $$BI = BH - IH =h - x$$

Рассмотрим треугольники $DBE$ и $ABC$. Они подобны по двум углам ($\angle BDE = \angle BAC$ как соответственные при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $AB$ и $\angle BED = \angle BCA$ аналогичным образом).

Значит стороны этих треугольников (а также и их высоты) пропорциональны.

Тогда: $$\frac{DE}{AC} = \frac{BI}{BH} \Leftrightarrow\frac{x}{a} = \frac{h - x}{h} \Leftrightarrow x(h + a) = ah \Leftrightarrow x = \frac{ah}{a + h}$$

Ответ: $\frac{ah}{a + h}$