Тип 17 № 12549

a)

Рассмотрим треугольник $AC_1C$. По условию угол $CC_1A$ прямой, значит $AC$ это диаметр окружности. Тогда, так как угол $AA_1C$ опирается на диаметр $AC$ он также является прямым. Тогда из треугольника $ABC$ получаем, что $AA_1$ является медианой и высотой, следовательно треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB = AC$. ч.т.д.

б) Рассмотрим треугольник $BC_1C$. $C_1A_1$ – медиана, проведённая из вершины прямого угла $BC_1C$. Тогда $BA_1 = A_1C = C_1A_1 = 6$. Значит, $AB = 2C_1A_1 = 12$.

Рассмотрим треугольники $BC_1C$ и $BA_1A$. $\angle BAA_1 = \angle BCC_1$, так как они опираются на меньшую одну $C_1A_1$. Угол $B$ общий. Значит эти треугольники подобны по двум углам.

Запишем пропорцию: $$\frac{AA_1}{CC_1} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{3} \Rightarrow AB = \frac{4}{3}BC = 16$$

Так как $AB = AC$, вычислим площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона: $$p = \frac{12 + 16\cdot2}{2} = 22$$ $$S_{ABC} = \sqrt{22\cdot6\cdot6\cdot10}= 12\sqrt{55}$$

Ответ: $12\sqrt{55}$