Задание 17: Треугольники — ЕГЭ по математике

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ . На катете $AC$ отмечена точка $M$ , а на продолжении катета $BC$ за точку $C$ - точка $N$ так, что $CM = CB$ и $CA = CN$ .

а) Пусть $CH$ и $CF$ - высоты треугольников $ABC$ и $NMC$ соответственно. Докажите, что $CF$ и $CH$ перпендикулярны.

б) Пусть $L$ - это точка пересечения $BM$ и $AN$ , $BC = 2$ , $AC = 5$ . Найдите $ML$ .

Решение:

а)

Рассмотрим треугольники  $ABC$  и  $NCM$  равны по двум сторонам и углу между ними ( $AC = CN$  и  $CM = BC$ ).
У равных треугольников равны соответствующие элементы, поэтому  $\angle BAC = \angle MNC = \angle MCF = 90^\circ - \angle HCA \Rightarrow \angle HCF = \angle HCA + \angle MCF = 90^\circ$

б) По условию $AC = CN$ , следовательно $\angle CNA = \angle NAC = 45^\circ$ . Аналогично $\angle BMC = \angle CBM = 45^\circ$ .

Рассмотрим $\triangle MLA$ . Угол $BMC$ и угол $LMA$ равны как вертикальные. Тогда: $\angle MLA = 180^\circ - \angle LMA - \angle MAL = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$ Значит $\triangle MLA$ прямоугольный и равнобедренный.

Заметим, что: $MA = AC - CM = AC - BC = 5 - 2 = 3$ Пусть $ML = LA = x$ Тогда по теореме Пифагора: $MA = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt2 = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{\sqrt2} = ML$

Ответ: $\frac{3}{\sqrt2}$