Тип 17 № 12551

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$ , а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$ , причём $CM=BC$ и $CN=AC$ . Отрезки $CP$ и $CQ$

биссектрисы треугольников $ACB$ и $NCM$ соответственно.

а) Докажите, что $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.

б) Найдите PQ , если $BC=3$ , а $AC=5$ .

Решение:

а)

 $CP$  и  $CQ$  – биссектрисы смежных углов  $\Rightarrow$  они взаимно перпендикулярны.

б) Рассмотрим треугольники $\triangle NCM$ и $\triangle ABC$ . Они равны по двум сторонам и углу между ними. Значит $CQ = CP$ .

Рассмотрим треугольник $NMC$ . По свойству биссектрисы: $\frac{QM}{NQ} = \frac{CM}{NC} = \frac{3}{5}$ Если вся сторона $NM$ равна $8x$ , то $NQ$ равно $\frac{5}{8}NM$

По теореме Пифагора для треугольника $NMC$ : $MN = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$

Тогда: $\cos\angle MNC = \cos QNC = \frac{NC}{NM} = \frac{5}{\sqrt{34}} \text{ и } NQ = \frac{5\sqrt{34}}{8}$

По теореме косинусов для треугольника $QNC$ : $QC^2 = NQ^2 + NC^2 - 2\cdot NQ\cdot NC\cdot\cos MNC$ $QC^2 = \frac{25\cdot34}{64} + 25 - \frac{25\sqrt{34}}{4}\cdot \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{25\cdot17 + 25\cdot32 - 125\cdot8}{32} = \frac{225}{32}$ $QC = \frac{15}{4\sqrt2}$ Из прямоугольного треугольника $QCP$ , где $QC = CP$ имеем: $QP = \sqrt{CQ^2 + CP^2} = \sqrt{2CQ^2} = \sqrt2CQ = \frac{15}{4}$

Ответ: $\frac{15}{4}$