Тип 17 № 12552

а)

Прямая $ML || AC$, так как она содержит среднюю линюю треугольника $ABC$, тогда: $$\angle LAC = \angle ALM \text{ как накрест лежащие углы }$$ $$\angle LAC = \angle LAM \text{ по условию }$$ Значит $\triangle AML$ – равнобедренный, так как углы $MAL$ и $MLA$ равны при основании $AL$. Так как точка $M$ – середина стороны $AB$, имеем: $$AM = ML = MB$$ А значит треугольник $ALB$ – прямоугольный, так как $LM$ медиана, равная половине стороны $AB$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ACB$ и $ALB$. Они имеют общую гипотенузу $AB \Rightarrow$ четырёхугольник $ABLC$ – вписанный. Отсюда имеем:

$$\begin{cases} \angle BAL = \angle BCL= \angle LAM\\ \angle LAC = \angle LBC = \angle LAM \end{cases} \Rightarrow \triangle AML \sim \triangle BLC \text{ по двум углам}$$

б) Пусть угол $LAC$ равен $\alpha$, тогда $\angle BAC = 2\alpha$ и $\cos\angle BAC = \cos2\alpha = \frac{7}{25}$

Так как треугольники $AML$ и $BLC$ подобны, имеем:

$$\frac{CL}{ML} = \frac{CB}{AL} =\frac{LB}{AM} = \frac{LB}{\frac{AB}{2}} = \frac{2LB}{AB} = k$$

В прямоугольном треугольнике $LAB$, $\sin LAB = \frac{LB}{AB} = \sin \alpha \Rightarrow 2\sin\alpha = k$

По формуле понижения степени:

$$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos2\alpha}{2} \Leftrightarrow \sin \alpha = \sqrt{\frac{1-\frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{25}}= \frac{3}{5}$$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента их подобия:

$$\frac{S_{BLC}}{S_{AML}} = k^2 = (2\sin\alpha)^2 = 4\cdot\frac{9}{25} = \frac{36}{25}$$

Ответ: $\frac{36}{25}$