Задание 17: Треугольники — ЕГЭ по математике

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$ , а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$ причем $CM=BC$ и $CN=AC$ .

а) Отрезки $CH$ и $CF$ - высоты треугольников $ACB$ и $NCM$ соответственно. Докажите, что прямые $CH$ и $CF$ перпендикулярны.

б) Прямые $BM$ и $AN$ пересекаются в точке $L$ . Найдите $LM$ если $BC=4$ , а $AC=8$ .

Решение:

а)

Рассмотрим прямоугольные треугольники  $ABC$  и  $NMC$ . Они равны по двум сторонам и углу между ними. (CM = BC, CN = AC)

Обозначим угол  $CAB$  за  $\alpha$ , тогда:

 $\angle ACH = 90^\circ - \alpha$ 

 $\angle CAB = \angle CNM$ 

Учитывая, что треугольники  $ABC$  и  $NMC$  равны, из прямоугольного треугольника  $FCN$  имеем:
 $\angle FCN = 90^\circ - \alpha \Rightarrow \angle FCM = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$ 
Значит:
 $\angle FCH = \angle FCM + \angle ACH = \alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ$

б) Рассмотрим треугольники $ACN$ и $CMB$ . Из условия известно, что $CN = AC$ и $CM = BC$ , значит эти треугольники равнобедренные. Отсюда имеем:

$\angle LAM = \angle NAC = 45^\circ$ $\angle AML = \angle CMB = 45^\circ$

Следовательно $\angle ALM = 90^\circ$ . Получаем, что треугольник $ALM$ равнобедренный и прямоугольный, откуда: $LM = \frac{\sqrt2}{2}AM = \frac{\sqrt2}{2}(AC - MC) = \frac{\sqrt2}{2}(AC - BC) = 2\sqrt2$

Ответ: $2\sqrt2$