Тип 17 № 12569

Решение

а)

В прямоугольном $\triangle ABC$ по теореме Пифагора: $$AC^2 + BC^2=AB^2$$

В прямоугольном $\triangle ABD$ по теореме Пифагора: $$AD^2 + BD^2=AB^2$$

Из этих двух равенств получим, что $$AC^2 + BC^2=AD^2 + BD^2$$

Так как $AC$ — биссектриса, то

$$\angle DAC = \angle CAB$$

$$\angle DAC = \angle DBC, \quad \text{так как опираются на одну дугу} CD$$

Тогда $CD = CB$, как хорды, опирающиеся на равные дуги, отсюда $$AC^2 + CD^2=AD^2 + BD^2$$

б) Заметим, что $\angle ADB = \angle ACB = 90^\circ$, тогда точки $A, D, C, B$ лежат на одной окружности, при этом $AB$ - диаметр этой окружности.
Далее, $\angle BAC = \angle DBC$, так как опираются на одну дугу.
Обозначим $\angle BAC = \alpha$
$\angle ABC = 90^\circ - \alpha$ (из $\triangle ABC$)
$\sin \alpha = \sin(90^\circ -\angle ABC)=\cos \angle ABC= \cfrac{3}{8}$
Найдем $\cos \alpha$ используя основное тригонометрическое тождество:

$$\cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2 \alpha} = \sqrt{1- \left(\frac{3}{8}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8}$$

Теперь найдем $\tg \alpha$: $$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \cfrac{\cfrac{3}{8}}{\cfrac{\sqrt{55}}{8}}= \frac{3}{\sqrt{55}}$$

В прямоугольном $\triangle ABC$: $$BC = \tg \alpha \cdot AC = \frac{3}{\sqrt{55}} \cdot AC$$

В прямоугольном $\triangle BTC$: $$TC = \tg \alpha \cdot BC = \frac{3}{\sqrt{55}} \cdot BC = \frac{3}{\sqrt{55}} \cdot \frac{3}{\sqrt{55}} \cdot AC = \frac{9}{55} \cdot AC$$

$$AT = AC - TC = \frac{46}{55}\cdot AC$$

Тогда $$\frac{AT}{TC} = \cfrac{\cfrac{46}{55}\cdot AC}{\cfrac{9}{55} \cdot AC} = \frac{46}{9}$$

Ответ:    $46:9$