Задание 16: Кредиты, аннуитетный платеж — ЕГЭ по математике

В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

— в январе каждого года долг увеличивается на 30%
по сравнению с предыдущим годом;

— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму будет взят кредит банке, если известно, что кредит будет выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат будет на 78030 рублей больше суммы взятого кредита.

Источник: БАНК ЕГЭ.

Решение:

$S$ - сумма долга (в руб.)

Долг увеличивается на $30\%$

$X$ - ежегодный платеж

Первое увеличение долга на $30\%$ и внесен первый платеж:

$S\cdot 1,3-x$

Второе увеличение долга на $30\%$ и внесен второй платеж:

$(S\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x$

Третье увеличение долга на $30\%$ и внесен третий платеж:

$((S\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x$

Общая сумма выплат:

$S+78030$

Составим математическую модель для суммы долга

$((S\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-x=0\\ (S\cdot 1,3\cdot 1,3-x\cdot 1,3-x)\cdot 1,3-х=0$ $3x=S+78030\\ x=\frac{S+78030}{3}$ $S\cdot 1,3^3-1,3^2x-1,3x-x=0\\ S\cdot 1,3^3=x(1,3^2+1,3+1)\\ (1,3^2+1,3+1)-геометрическая~прогрессия\\ S\cdot 1,3^3=x\frac{1,33-1}{1,3-1}$

Но $x=\frac{S+78030}{3}$

Значит: $\begin{aligned} S\cdot 1,3^3=\frac{S+78030}{3}\cdot \frac{1\cdot 1,3^3-1}{1,3-1}\\ S\cdot\frac{2197}{1000}=\frac{(S+78030)\cdot 11,97}{9}\\ S\cdot\frac{2197}{1000}=(S+78030)\cdot 1,3^3\\ S\cdot 2197=(S+78030)\cdot 1330\\ S\cdot 2197=S\cdot 1330+78030\cdot 1330\\ 867S=1330\cdot 78030\\ S=119700~рублей \end{aligned}$ Ответ: 119700.