Задание 16: Кредиты, аннуитетный платеж — ЕГЭ по математике

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 31%
по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69690821 рубль.

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Источник: БАНК ЕГЭ.

Решение:

$S$ - сумма, взятая в кредит (в рублях)

$r=31$ (увеличение долга в $\%$ )

$x=69690821$ руб. (выплаченная часть долга)

$n=3$

$n$ - количество лет

Начисление процентов в $1$ год:

$S\cdot 1,31$

Выплата ежегодного платежа в $1$ год:

$S\cdot 1,31-69690821$

Начисление процентов во $2$ год:

$(S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31$

Выплата ежегодного платежа во $2$ год:

$(S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821$

Начисление процентов в $3$ год:

$((S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31$

Выплата ежегодного платежа в $3$ год:

$((S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821$

Составим математическую модель: $\begin{aligned} ((S\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821)\cdot 1,31-69690821=0\\ S\cdot 1,31^3-69690821\cdot 1,31^2-69690821\cdot 1,31-69690821=0\\ S\cdot 1,31^3=69690821\cdot (1,31^2+1,31+1)\\ S=69690821\cdot\frac{1,31^2+1,31+1}{1,31^3}\\ S=69690821\cdot\frac{4,0261}{2,248091}\\ S=124809100~руб \end{aligned}$ Значит, $124809100$ руб. было взято в банке.

Ответ: 124809100